Bernoulliho rovnice

Tento článek je o mechanice tekutin. O diferenciální rovnici pojednává článek Bernoulliho diferenciální rovnice.

Bernoulliova rovnice je vztah užívaný v mechanice tekutin, který odvodil Daniel Bernoulli a který vyjadřuje zákon zachování mechanické energie pro ustálené proudění ideální kapaliny (Energie je v rovnici obvykle přepočtena na objemovou jednotku kapaliny.).

1 2 ρ v 2 + p + ρ u ( x ) = k o n s t . {\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho v^{2}+p+\rho u(\mathbf {x} )=\mathrm {konst.} }

kde ρ {\displaystyle \rho } je hustota kapaliny, v je rychlost proudění, p je tlak v kapalině a u je potenciál vnějšího konzervativního pole objemové síly (gravitační síly, unášivé setrvačné síly nebo jejich kombinace, jako je tíhová síla) v daném bodě. První člen v Bernoulliově rovnici se nazývá dynamický n. kinetický tlak a představuje objemovou hustotu kinetické energie, druhý člen představuje tlakovou potenciální energii objemové jednotky kapaliny a třetí člen potenciální energii objemové jednotky kapaliny v silovém poli vnější konzervativní síly, v němž se kapalina nachází. Součet kinetické energie a potenciální energie (tlakové + vnější) v jednotce objemu je ve všech místech kapaliny stejný. Tato rovnice bývá často uváděna ve tvaru, který platí pro homogenní tíhové pole:

1 2 ρ v 2 + p + ρ g h = k o n s t . {\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho v^{2}+p+\rho gh=\mathrm {konst.} }

Platí, že pokud na kapalinu v klidu působí tíhová síla, je ve stejné hloubce v každém bodě stejný tlak. Pokud je kapalina v pohybu tak tento vztah neplatí. Slovy můžeme Bernoulliho jev popsat takto: v místě s větším průřezem má proudící kapalina větší tlak, ale menší rychlost, zatímco v místě s menším průřezem má menší tlak, ale větší rychlost (Fakt, že při větším průřezu je rychlost kapaliny menší, je důsledkem rovnice kontinuity.).

Odvození pro nestlačitelnou kapalinu

Diagram k odvození Bernoulliho rovnice

Pokud kapalina o elementu hmotnosti d m {\displaystyle \mathrm {d} m} proudí ve vodorovné trubici o průřezu S {\displaystyle S} rychlostí v {\displaystyle v} , platí pro ni pohybová rovnice:

d d t ( d m v ) = − d F . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(\mathrm {d} m\,v\right)=-\mathrm {d} F.}

Rozepíšeme tuto rovnici tak, aby v ní vystupovala hustota a průřez trubice

ρ S d x d v d t = − S d F S = − S d p . {\displaystyle \rho S\,\mathrm {d} x\,{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=-S\,{\frac {\mathrm {d} F}{S}}=-S\,\mathrm {d} p.}

S využitím vztahu

d x d v d t = d x d t d v = v d v = d ( v 2 2 ) {\displaystyle \mathrm {d} x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} v=v\mathrm {d} v=\mathrm {d} \left({\frac {v^{2}}{2}}\right)}

tato rovnice přejde na

ρ S d ( v 2 2 ) = − S d p , {\displaystyle \rho S\,\mathrm {d} \left({\frac {v^{2}}{2}}\right)=-S\,\mathrm {d} p,}

tedy

d ( ρ v 2 2 + p ) = 0 , {\displaystyle \mathrm {d} \left({\frac {\rho v^{2}}{2}}+p\right)=0,}

což zintegrováním dá

ρ v 2 2 + p = k o n s t . {\displaystyle \rho {\frac {v^{2}}{2}}+p=\mathrm {konst.} }

Pokud se navíc nacházíme v poli nějaké vnější konzervativní objemové síly (např. gravitace), přičteme jeho potenciál ρ u {\displaystyle \rho u} (na jednotku objemu) k tlakovému potenciálu, čímž přímočaře získáme rovnici

ρ v 2 2 + p + ρ u ( x ) = k o n s t . {\displaystyle \rho {\frac {v^{2}}{2}}+p+\rho u(\mathbf {x} )=\mathrm {konst.} }

Poněkud přímější odvození vychází ze zákona zachování energie. U kapalin uvažujeme potenciální energii tlakovou Ep = pV.

Za předpokladu, že Ek + Ep + Eg = konst., potom platí

1 2 m v 2 + p V + m g h = k o n s t . {\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}+pV+mgh=\mathrm {konst.} }

vztažením energie na jeden kilogram kapaliny (vydělením hmotností) dostaneme tzv. energetický tvar rovnice:

1 2 v 2 + p ρ + g h = k o n s t . {\displaystyle {\frac {1}{2}}v^{2}+{p \over \rho }+gh=\mathrm {konst.} }

nebo (vydělením objemem) tlakový tvar:

1 2 ρ v 2 + p + ρ g h = k o n s t . {\displaystyle {\frac {1}{2}}\rho v^{2}+p+\rho gh=\mathrm {konst.} }

případně původní výškový tvar (vydělením tíhou):

v 2 2 g + p ρ g + h = k o n s t . {\displaystyle {v^{2} \over 2g}+{p \over \rho g}+h=\mathrm {konst.} }


Důsledky

Z Bernoulliho rovnice vyplývá, že statický tlak proudící kapaliny klesá s rostoucí rychlostí. Pokud plyn proudí trubicí dostatečnou rychlostí, tlak v tom místě se natolik zmenší, že toho lze využít například pro odsávání. Tomuto jevu se říká hydrodynamický paradox (hydrodynamické paradoxon) a využívá se ho například u rozprašovačů, natěračských stříkacích pistolí, ejektorů nebo v karburátoru.

Výtoková rychlost

Ze zákona zachování energie lze také odvodit vztah pro výtokovou rychlost kapaliny při vytékání malým otvorem z nádoby s hladinou ve výšce h, neboť lze říci, že výtoková rychlost ideální kapaliny je stejná jako rychlost, kterou by kapalina získala při volném pádu z výšky h:

v = 2 g h {\displaystyle v={\sqrt {2gh}}}
- tzv. Torricelliho vzorec

Související články

Externí odkazy