Diracova notace

Diracova notace (nebo také Diracova symbolika) je způsob zápisu vektorů běžně používaný v kvantové mechanice a kvantové teorii pole. Jde o zápis vektorů v Hilbertově prostoru, který zavedl P.A.M. Dirac. Symbolika je též známá jako braketová.

Definice

Vektor a je označován symbolem | a ⟩ {\displaystyle |a\rangle } . Protože jsme v prostoru se skalárním součinem ( ⋅ , ⋅ ) {\displaystyle (\cdot ,\cdot )} , je dobře definován duální vektor a ∗ = ( a , ⋅ ) {\displaystyle \mathbf {a} ^{*}=(\mathbf {a} ,\cdot )} a značí se ⟨ a | {\displaystyle \langle a|} . Vektory se nazývají ket-vektory a duální vektory bra-vektory. Jde o slovní hříčku, protože akce bra-vektoru ⟨ a | {\displaystyle \langle a|} na ket-vektor | b ⟩ {\displaystyle |b\rangle } je podle definice jejich skalární součin ⟨ a | b ⟩ = ( b , a ) {\displaystyle \langle a|b\rangle =(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )} , což se anglicky říká bracket (závorka) (obvykle uvažujeme komplexní prostory a od skalárního součinu očekáváme linearitu v b a anti-linearitu v a). Pokud souřadnice vektoru | a ⟩ {\displaystyle |a\rangle } jsou v nějaké ortonormální bázi

| a ⟩ = ( a 1 a 2 ⋮ a n ) , {\displaystyle |a\rangle ={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}},}

pak souřadnice vektoru ⟨ a | {\displaystyle \langle a|} v duální bázi jsou ⟨ a | = ( a 1 ∗ , a 2 ∗ , ⋯ , a n ∗ ) {\displaystyle \langle a|=(a_{1}^{*},a_{2}^{*},\cdots ,a_{n}^{*})} (* označuje komplexní sdružení). Za daných předpokladů můžeme také říct, že ⟨ a | {\displaystyle \langle a|} je hermiteovsky sdružený vektor k | a ⟩ {\displaystyle |a\rangle } .

Použití

Diracova symbolika je výhodná proto, že je možné zapsat operátor, jeho vlastní čísla a vektory pomocí jednoho symbolu, např.

L ^ | L ⟩ = L | L ⟩ {\displaystyle {\hat {L}}|L\rangle =L|L\rangle } ,

kde L ^ {\displaystyle {\hat {L}}} je operátor, L {\displaystyle L} představuje jeho vlastní číslo a | L ⟩ {\displaystyle |L\rangle } jeho vlastní vektor.


V případě diskrétních vlastních hodnot má předchozí vztah tvar

L ^ | L n ⟩ = L n | L n ⟩ = L n | n ⟩ {\displaystyle {\hat {L}}|L_{n}\rangle =L_{n}|L_{n}\rangle =L_{n}|n\rangle }


Pro hermiteovský operátor A ^ {\displaystyle {\hat {A}}} , tzn. A ^ + = A ^ {\displaystyle {\hat {A}}^{+}={\hat {A}}} , pro který platí

A ^ | f ⟩ = | g ⟩ {\displaystyle {\hat {A}}|f\rangle =|g\rangle }

pak také platí

⟨ g | = ( | g ⟩ ) + = ( A ^ | f ⟩ ) + = ( | f ⟩ ) + A ^ + = ⟨ f | A ^ {\displaystyle \langle g|={(|g\rangle )}^{+}={({\hat {A}}|f\rangle )}^{+}={(|f\rangle )}^{+}{\hat {A}}^{+}=\langle f|{\hat {A}}}

Hermiteovské operátory tedy působí na ket-vektory zleva a na bra-vektory zprava a tyto akce jsou stejné (ve smyslu ztotožnění vektorů a duálů).

Mnoho formulí z lineární algebry se dá v Diracově notaci zapsat velmi přehledně. Například operátor ortogonální projekce na prostor, který má ortonormální bázi | e 1 ⟩ , … , | e k ⟩ {\displaystyle |e_{1}\rangle ,\ldots ,|e_{k}\rangle } se dá napsat jako ∑ i | e i ⟩ ⟨ e i | {\displaystyle \sum _{i}|e_{i}\rangle \langle e_{i}|} (součin ket-vektoru a bra-vektoru je lineární operátor).

Odkazy

Související články

Externí odkazy

  • Logo Wikimedia Commons Obrázky, zvuky či videa k tématu Diracova notace na Wikimedia Commons
  • Diracova notace v encyklopedii MathWorld (anglicky)