Epicykloida

Epicykloida je pojem z oboru geometrie, který označuje křivku vzniklou jako trasa pevně zvoleného bodu kružnice, která se kotálí kolem druhé kružnice. Pro její podobu jsou zásadními parametry poloměry oněch kružnic.

Parametrické vyjádření

Označíme-li velikost pohyblivé křivky ${\displaystyle r}$ a velikost poloměru pevné křivky ${\displaystyle R=kr}$, pak při umístění počátku souřadné soustavy do středu pevné kružnice můžeme epicykloidu popsat rovnicemi

${\displaystyle x(\theta )=(R+r)\cos \theta -r\cos \left(\left(1+{\frac {R}{r}}\right)\theta \right)}$

${\displaystyle y(\theta )=(R+r)\sin \theta -r\sin \left(\left(1+{\frac {R}{r}}\right)\theta \right).}$

Podoba

Pokud je výše definované ${\displaystyle k}$ celé číslo, tedy se vnější kružnice po ${\displaystyle k}$ otočkách vrátí přesně do výchozího stavu, má epicykloida právě ${\displaystyle k}$ hrotů, kde nemá derivaci.

Je-li ${\displaystyle k}$ racionální číslo vyjádřitelné v základním tvaru jako ${\displaystyle k=p/q}$, pak má právě ${\displaystyle p}$ hrotů.

Pokud je ${\displaystyle k}$ iracionální číslo, pak se epicykloida dotkne obíhané kružnice pokaždé v jiném bodě a tyto body tvoří hustou množinu.

Zvláštními pojmenovanými případy epicykloidy jsou:

• kardioida neboli srdcovka, která má poloměry obou kružnic stejné.
• nefroida, která má poloměr vnitřní kružnice dvojnásobný oproti kružnici vnější.

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu epicykloida na Wikimedia Commons
• Encyklopedické heslo Epicykloida v Ottově slovníku naučném ve Wikizdrojích