Kubická rovnice

Kubická rovnice (z lat. cubus – krychle) je algebraická rovnice třetího stupně. Její základní tvar vypadá následovně:

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$,

kde ${\displaystyle a\neq 0}$.

Jednotlivé členy mají tato označení:
${\displaystyle ax^{3}}$ je kubický člen, ${\displaystyle bx^{2}}$ je kvadratický člen, ${\displaystyle cx}$ je lineární člen a ${\displaystyle d}$ je absolutní člen.

Koeficient a musí být různý od nuly, jinak by se jednalo o funkci nižšího řádu. a, b, c a d jsou reálná čísla.

Diskriminant

Diskriminant vypočítáme podle vztahu ${\displaystyle D=18abcd-4b^{3}d+b^{2}c^{2}-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}}$ Mohou nastat tři případy:

• D = 0, rovnice má buď jeden trojnásobný reálný kořen nebo jeden dvojnásobný a jeden jednoduchý reálný kořen
• D > 0, rovnice má tři reálné kořeny
• D < 0, rovnice má jeden reálný a dva komplexně sdružené kořeny

Řešení rovnice

Obecné řešení kubické rovnice se dá najít buď pomocí Cardanových vzorců, anebo dvojí substitucí podle Thomase Harriota. Harriotova metoda je následující:

Rovnici nejprve vydělíme koeficientem u třetí mocniny, čímž ji převedeme na tvar

${\displaystyle x^{3}+ax^{2}+bx+c=0.}$

Substitucí ${\displaystyle x=t-a/3}$ odstraníme kvadratický člen, a tím dostaneme rovnici typu

${\displaystyle t^{3}+pt+q=0,\quad {\mbox{kde}}\quad p=b-{\frac {a^{2}}{3}}\quad {\mbox{a}}\quad q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}.}$

Tuto rovnici dále převedeme na kvadratickou rovnici substitucí ${\displaystyle t=y-{p \over 3y}}$ a vynásobením obou stran ${\displaystyle y^{3}}$. Po úpravách dostaneme rovnici

${\displaystyle y^{6}+qy^{3}-{p^{3} \over 27}=0}$,

což je kvadratická rovnice vůči ${\displaystyle y^{3}}$. Po nalezení ${\displaystyle y}$ zpětně dosadíme do substitučních rovnic, až dojdeme k původnímu ${\displaystyle x}$. Podrobnější postup je popsán v článku Cardanovy vzorce, jelikož tato kvadratická rovnice se tam vyskytuje rovněž, i když se k ní dospěje jiným způsobem.

Některé druhy kubické rovnice se dají řešit i jednodušeji než Harriotovou substitucí nebo Cardanovými vzorci.

Kubická rovnice bez absolutního členu

U těchto rovnic je koeficient d roven nule. Rovnice se tedy dá vytknutím snadno převést na kvadratickou. Jedním z řešení je vždy číslo 0.

Příklad

${\displaystyle x^{3}-5x^{2}+6x=0}$
${\displaystyle x(x^{2}-5x+6)=0}$
Dále řešíme kvadratickou rovnici ${\displaystyle x^{2}-5x+6=0}$, jejími kořeny jsou čísla 2 a 3.
Kubická rovnice má tedy kořeny: ${\displaystyle x_{1}=0,x_{2}=2,x_{3}=3}$

Reciproká rovnice

Jestliže koeficienty ${\displaystyle a=d,b=c}$ pak se jedná o kladně reciprokou rovnici. Jejím kořenem je vždy číslo -1. Rovnici tedy vydělíme výrazem ${\displaystyle (x+1)}$, získáme kvadratickou rovnici a jejím vyřešením zbývající dva kořeny. Jestliže ${\displaystyle a=-d,b=-c}$ pak rovnice je záporně reciproká a jejím kořenem je číslo 1. Vydělíme ji tedy výrazem ${\displaystyle (x-1)}$

Příklad

${\displaystyle 2x^{3}-3x^{2}-3x+2=0}$
${\displaystyle (2x^{3}-3x^{2}-3x+2):(x+1)=[(2x^{3}+2)-(3x^{2}+3x)]:(x+1)={\tfrac {2(x^{3}+1)}{x+1}}-{\tfrac {3x(x+1)}{x+1}}={\tfrac {2(x+1)(x^{2}-x+1)}{x+1}}-3x=2x^{2}-5x+2}$
Kořeny jsou následující: ${\displaystyle x_{1}=-1,x_{2}={\tfrac {1}{2}},x_{3}=2}$

Kubická rovnice s celočíselným kořenem

Taková rovnice se řeší podobně jako reciproká, ale kořenem může být i jiné číslo než 1 nebo -1

Kubická rovnice bez kvadratického a lineárního členu

Taková rovnice je binomická, např.: ${\displaystyle x^{3}-27=0}$

Viètovy vzorce

Pro kořeny kubické rovnice a její koeficienty platí následující vztahy:
${\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}={\frac {c}{a}},\quad x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}}$

Související články

• Lineární rovnice
• Kvadratická rovnice
• Binomická rovnice
• Cardanovy vzorce
• Viètovy vzorce

Externí odkazy

• Obrázky, zvuky či videa k tématu kubická rovnice na Wikimedia Commons