Mechanická energie

Mechanická energie je skalární fyzikální veličina, která vyjadřuje míru schopnosti tělesa konat mechanickou práci, tzn. působit silou na jiné těleso a posouvat jej po určité dráze.

Mechanická energie je jeden z mnoha druhů energie.

Mechanickou energii mají:

  1. tělesa, která se vzájemně pohybují - kinetická energie (pohybová energie),
  2. tělesa, která jsou v silových polích jiných těles - potenciální energie. Především hovoříme o tíhové potenciální energii, kterou má každé těleso v silovém poli Země,
  3. pružná tělesa, která jsou stlačená nebo natažená - potenciální energie pružnosti (potenciální energie pružnosti).

Značení

  • Značka veličiny: E (angl. energy)
  • Jednotka: joule, značka jednotky: J
  • Další jednotky: kilojoule kJ, megajoule MJ, gigajoule GJ

Výpočet

Nákres pohybu koule na U-dráze. Koule je umístěna do nejvyššího polohy, výšky h, kde má maximální potenciální tíhovou energie Ep a nulovou kinetickou energii Ek. Tečkovaná šipka znázorňuje trajektorii pohybu koule po U-dráze. V nejnižším bodě koule dosahuje nejvyšší kinetické energie Ek a nulové potenciální tíhové energie Ep. V nákresu není uvažován odpor prostředí.

Celková mechanická energie je definována jako součet kinetické a potenciální energie tělesa, tzn.

E = E k + E p {\displaystyle E=E_{k}+E_{p}} .

Zákon zachování mechanické energie

Přeměna mechanické energie mezi tělesy v izolované mechanické soustavě se děje konáním mechanické práce jednoho tělesa působícího na druhé a platí pro ni zákon zachování mechanické energie, který je zvláštním případem obecného zákona zachování energie. Tento zákon lze formulovat následujícím způsobem

d E d t = 0 ⟹ E = konst. {\displaystyle {\frac {dE}{dt}}=0\implies E={\text{konst.}}} .

Odvození

Pro úplný diferenciál potenciální nestacionární potenciální energie E p ( r , t ) {\displaystyle E_{p}(\mathbf {r} ,t)} lze psát

d E p = ∂ E p ∂ x d x + ∂ E p ∂ y d y + ∂ E p ∂ z d z + ∂ E p ∂ t d t = ∇ E p ⋅ d r + ∂ E p ∂ t d t {\displaystyle dE_{p}={\frac {\partial E_{p}}{\partial x}}dx+{\frac {\partial E_{p}}{\partial y}}dy+{\frac {\partial E_{p}}{\partial z}}dz+{\frac {\partial E_{p}}{\partial t}}dt=\nabla E_{p}\cdot d\mathbf {r} +{\frac {\partial E_{p}}{\partial t}}dt} .

Element práce vyjádříme jako

d W = F ⋅ d r = − ∇ E p ⋅ d r = − d E p + ∂ E p ∂ t d t {\displaystyle dW=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =-\nabla E_{p}\cdot d\mathbf {r} =-dE_{p}+{\frac {\partial E_{p}}{\partial t}}dt} ,

odkud pak dostáváme vztah pro okamžitý výkon ve tvaru

d W d t = F ⋅ v = − ∇ E p ⋅ v = − d E p d t + ∂ E p ∂ t {\displaystyle {\frac {dW}{dt}}=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} =-\nabla E_{p}\cdot \mathbf {v} =-{\frac {dE_{p}}{dt}}+{\frac {\partial E_{p}}{\partial t}}} .

Dále předpokládejme, že na hmotný bod působí nestacionární potenciálová síla, disipativní síla a gyroskopická síla. Celkovou sílu lze psát ve tvaru

F = − ∇ E p + F G y + F D i s {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla E_{p}+\mathbf {F} _{Gy}+\mathbf {F} _{Dis}} .

Pro okamžitý výkon výslednice uvažovaných sil můžeme psát (připomeňme, že gyroskopické síly jsou kolmé na vektor pohybu)

d W d t = F ⋅ v = − ∇ E p ⋅ v + F G y ⋅ v + F D i s ⋅ v = − d E p d t + ∂ E p ∂ t + F D i s ⋅ v {\displaystyle {\frac {dW}{dt}}=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} =-\nabla E_{p}\cdot \mathbf {v} +\mathbf {F} _{Gy}\cdot \mathbf {v} +\mathbf {F} _{Dis}\cdot \mathbf {v} =-{\frac {dE_{p}}{dt}}+{\frac {\partial E_{p}}{\partial t}}+\mathbf {F} _{Dis}\cdot \mathbf {v} } .

Ze vztahu kinetické energie a okamžitého výkonu víme, že platí rovnost

d W d t = d E k d t {\displaystyle {\frac {dW}{dt}}={\frac {dE_{k}}{dt}}} ,

s jejíž pomocí předchozí vztah upravíme následujícím způsobem

d E k d t = − d E p d t + ∂ E p ∂ t + F D i s ⋅ v ⟹ d ( E k + E p ) d t = ∂ E p ∂ t + F D i s ⋅ v {\displaystyle {\frac {dE_{k}}{dt}}=-{\frac {dE_{p}}{dt}}+{\frac {\partial E_{p}}{\partial t}}+\mathbf {F} _{Dis}\cdot \mathbf {v} \implies {\frac {d(E_{k}+E_{p})}{dt}}={\frac {\partial E_{p}}{\partial t}}+\mathbf {F} _{Dis}\cdot \mathbf {v} } .

Protože jsou disipativní síly záporné F D i s ⋅ v = − k v 2 , k > 0 {\displaystyle \mathbf {F} _{Dis}\cdot \mathbf {v} =-kv^{2},k>0} , tak se podílejí na úbytku celkové mechanické energie, přičemž z toho vyplývá za předpokladu stacionárních potenciálových sil, že změna celkové energie je spojena pouze s jejím úbytkem.

d E d t = F D i s ⋅ v = − k v 2 {\displaystyle {\frac {dE}{dt}}=\mathbf {F} _{Dis}\cdot \mathbf {v} =-kv^{2}} .

Pokud ke všemu nebudou na hmotný bod působit žádné disipativní síly (např. odpor prostředí), pak dostáváme zákon zachování mechanické energie v izolované soustavě ve tvaru

d E d t = 0 ⟹ E = konst. {\displaystyle {\frac {dE}{dt}}=0\implies E={\text{konst.}}} .

Odkazy

Související články