Moivreova (čti [mwavʁova] IPA) věta říká, že pro libovolné komplexní číslo (a speciálně tedy i reálné číslo) x a libovolné celé číslo n platí:
![{\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab4857121e23068ff095a8a6abcb189b8b1ee4c2)
kde i je imaginární jednotka.
Tento vztah je důležitý, neboť propojuje komplexní čísla s goniometrií.
Výraz
se někdy zkracuje na
.
Roznásobením levé strany a porovnáním reálných a imaginárních částí je možno odvodit vztahy pro vyjádření cos(nx) a sin(nx) pomocí cos(x) a sin(x).
Moivreovu větu lze také použít k vyjádření n-té odmocniny jedničky, tedy k nalezení takového komplexního čísla z, pro které platí zn = 1.
Abraham de Moivre byl dobrým přítelem Newtona a roku 1698 dokonce napsal, že Newtonovi byl tento vzorec znám již v roce 1676.
Tato věta může být odvozena též z Eulerova vzorce eix = cos x + i sin x , který je ovšem historicky mladší.
Užití věty
Větu lze použít k výpočtu n-té odmocniny z komplexního čísla.
Zapíšeme-li komplexní číslo v jeho goniometrickém tvaru
pak všech jeho
odmocnin
-tého stupně lze zapsat jako
![{\displaystyle z^{1/n}=(A(\cos x+i\sin x))^{1/n}=\{A^{1/n}(\cos \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)+i\sin \left({\frac {x+2k\pi }{n}}\right)):0\leq k\leq n-1\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5e1b632e2be41281f73748db62bd405d2c64539)
Důkaz
Uvažujme tři případy:
Pro n > 0 použijeme indukci. Pro n = 1 rovnost evidentně platí. Uvažujme indukční krok n → n0 + 1
![{\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n_{0}+1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c82efeb416de8470621c065ac168fd9d3650b94f)
![{\displaystyle =(\cos x+i\sin x)^{n_{0}}(\cos x+i\sin x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/125e9f119b64bab991c4a8c72e91bcb0eb0df994)
(z indukčního předpokladu) ![{\displaystyle =\cos(n_{0}x)\cos x-\sin(n_{0}x)\sin x+i(\cos(n_{0}x)\sin x+\sin(n_{0}x)\cos x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0521bf9f93bf268aeb19fbaf9a409a3a6454dc54)
Zde použijeme goniometrické součtové vzorce: sin(x + y) = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y) a cos(x + y) = cos(x)*cos(y) - sin(x)*sin(y).
![{\displaystyle =\cos((n_{0}+1)x)+i\sin((n_{0}+1)x)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c962f87994fa5846a54453c194ebf6ed62b858)
Odvodili jsme, že rovnost platí pro n = n0 + 1, jestliže platí pro n0, a tedy indukcí platí pro všechna n přirozená.
Pro n = 0 rovnost platí, protože
a nultá mocnina z komplexního čísla je též 1.
Pro n < 0 vezměme přirozené m takové, aby n = −m. Potom
![{\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}\,=(\cos x+i\sin x)^{-m}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d2b9ceee9498d6a38044cc120a8ee8f12ff228)
(shora)
![{\displaystyle =\cos(mx)-i\sin(mx)\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5153782e3d3fec2ed1b5c8f72630298ffec5a558)
![{\displaystyle =\cos(-mx)+i\sin(-mx)\,=\cos(nx)+i\sin(nx).\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ba12d3bc6f6821de11a4c97a17ecef38f931e44)
Tvrzení tedy platí pro všechna n celá. Q.E.D.
Poznámka: Moivreova věta je ve skutečnosti trochu obecnější, pokud by z a w byla čísla komplexní, pak cos (wz) + i⋅sin (wz) je jednou z (více) možných úprav výrazu (cos z + i⋅sin z)w.
Související články
Portály: Matematika