Rozšířená reálná čísla (značení
) je název používaný v matematické analýze pro množinu
, tedy pro reálná čísla rozšířené o dva symboly pro kladné a záporné nekonečno.
Jejich hlavní přínos spočívá v tom, že je možné pomocí nich definovat některé matematické pojmy pro několik situací zároveň, což definici zkrátí a zpřehlední. Například v definici pro limitu funkce
je potřeba ošetřit celkem devět možností:
i
může být reálné číslo,
nebo
; pomocí rozšířených reálných čísel je možno těchto devět možností vyjádřit jednou formulí.
Aritmetické operace a uspořádání
Aritmetické operace
Sčítání a odčítání
Definovat zde budeme pouze sčítání. Všimneme si, že odčítání je v něm již zahrnuto, např.
.
![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{*}\setminus \{-\infty \}:(\infty +x)=(x+\infty )=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cf3b72490a6890dc196e0ed0ad8c4bcce5cc20c)
![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{*}\setminus \{\infty \}:(-\infty +x)=(x+(-\infty ))=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/284a826eb25b4e7736b7dc5d5129a6941deb8c8c)
![{\displaystyle -(\infty )=-\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7618cc99d7a224f39aaa7bc1ae3c02bc0201a41a)
![{\displaystyle -(-\infty )=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d17e45ff521754ba9f5dc442722da0c00166021)
Definice je poměrně přirozená, jelikož zachovává zvyklosti z reálných čísel a „s nekonečnem operuje nekonečně“. První dva body říkají, že když k nekonečnu cokoli přičteme, dostaneme opět nekonečno (vyjma nekonečna s opačným znaménkem). To dává smysl i nematematicky: když přidáme nebo ubereme z něčeho nekonečného, pořád toho bude nekonečně. Druhé dva body přesně kopírují chování reálných čísel, např.
a také
.
Násobení a dělení
![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{*},x>0:(\pm \infty )*x=x*(\pm \infty )=\pm \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6739496f316fafbe8bbd44af8b0569354f7e8b)
![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{*},x<0:(\pm \infty )*x=x*(\pm \infty )=\mp \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d2d549d76c90dcfc08bbd1c469882df5cc6d1f2)
![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :\left({\frac {x}{\pm \infty }}\right)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee5fb062316857a4f2050800b394790d6f737705)
I v tomto případě dává definice dobrý smysl. První dva body opět kopírují vlastnosti násobení reálných čísel, např.
nebo
, neboli násobení s nekonečnem nakládá stejně, jako by to bylo obyčejné reálné číslo. Poslední bod si můžeme představit následovně. Zvolme si x = 1 (pro jednoduchost). Místo nekonečna si postupně dosazujme větší a větší čísla 10, 100, -1000,
,
atd. Zlomek se tím více přibližuje nule, čím větší číslo do jmenovatele dosadíme (čím větší číslo v absolutní hodnotě). Proto když do jmenovatele dosadíme nekonečně velké číslo, celý zlomek bude roven nule.
Absolutní hodnota
![{\displaystyle |\pm \infty |=\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7b3ec95306067c73e55b39b5055dbffc4ec5436)
Stejně tak absolutní hodnota se k nekonečnu chová jako k reálnému číslu.
Nedefinované aritmetické operace
Výše nebyly definovány některé operace, jelikož neumíme říci, čemu by se měly rovnat, např.
![{\displaystyle \infty +(-\infty )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7241262faddd1b3ead4013dd6919fa6eedb59e8d)
![{\displaystyle (-\infty )+\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8405f78d411eb9b05386868fbc8cbdf0d9f2964)
![{\displaystyle \pm \infty *0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/151d8a329894bed58051c8813fbc0708833888bb)
![{\displaystyle 0*\pm \infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed164de08d6e88b4f546ae8a20db8532fd51bc23)
![{\displaystyle \left({\frac {\pm \infty }{\pm \infty }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ed6220bdb62532eb13bd52cfd1f4d34e4e0ea8a)
![{\displaystyle \left({\frac {x}{0}}\right),\forall x\in \mathbb {R} ^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f59ef1b838926fade9489c79ed0554b183be3697)
Zvažme například, proč si neumíme poradit s posledním bodem. Pokusme se definovat
obdobně, jak jsme definovali, že
. Dosadíme x = 1 (pro jednoduchost) a místo nuly uvažujme malá čísla – 0,1 ; 0,0001; – 0,00000001; 0,0000000000001. Narážíme zde na problém – zlomek se sice neustále zvětšuje, ale když dosazujeme kladná a záporná čísla, zvětšuje se "jinam", totiž směrem k
a
. A bohužel nelze říci, zdali by výsledek
měl být spíše jedno, či druhé.
Uspořádání
Množina reálných čísel je uspořádaná, tj. pro každá dvě čísla umíme říct, které z nich je větší, nebo že se rovnají, např.
;
;
. Nyní chceme definovat, jak jsou vůči těmto prvkům uspořádané nové dva prvky
![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :-\infty <x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f7f31fcbdb14cb9954c3645a8add56c810fc8c2)
![{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} :\infty >x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee09699f41391b71d76821dd969c11db096e9047)
![{\displaystyle -\infty <\infty }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6580daa35bb2b9ba3229b713e5b7d8337cbdaa5)
-okolí
Pojem „
okolí bodu
“ je označován
a má tuto definici:
Pro každé
a
je
pokud ![{\displaystyle x\in R\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df703289eb1d115b3a01d342f57a0a9c9b59b8ca)
pokud ![{\displaystyle x=-\infty \,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42df885c84f6b1608b54829f78f0ddc8262364f6)
pokud ![{\displaystyle x=+\infty \,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/171734fc1bcb00c404e81416cb375148c8481a55)
Prstencové okolí je pak ve všech případech definováno jako
.
Okolí vs.
-okolí
Množina
se nazývá okolím bodu
, pokud obsahuje
-okolí bodu x pro nějaké ε>0. A se nazývá prstencovým okolím x, pokud neobsahuje x, ale pro nějaké ε>0 obsahuje jako podmnožinu nějaké prstencové ε-okolí bodu x.
Tyto definice jsou ekvivalentní s topologickými definicemi pojmu okolí a ε-okolí při níže uvedené topologii.
Topologie
Na
lze zavést strukturu topologického prostoru tak, že množina je otevřená, právě když s každým svým prvkem obsahuje nějaké jeho okolí.
Tato topologie je sice metrizovatelná, ale žádná z metrik, která ji indukuje, není na reálných číslech (tj. na
) totožná s obvyklou metrikou. Příkladem metriky, která tuto topologii indukuje, je zobrazení
, pokud funkci arctan dodefinujeme (pouze pro účely této definice) tak, že
.
Limita posloupnosti
Rozšířená reálná čísla umožňují jedním vzorcem definovat limitu posloupnosti
pro konečné i nekonečné
.
Budiž
posloupnost reálných čísel a
. Řekneme, že
, pokud
![{\displaystyle (\forall \epsilon \in \mathbb {R} ^{*})(\exists n_{0}\in \mathbb {N} )(\forall n>n_{0})a_{n}\in U_{\epsilon }(a)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d7cdc58ec7014af936519cbe2a53603c06c699f)
Tato definice konvergence posloupnosti je ekvivalentní s konvergencí v topologickém prostoru při výše uvedené topologii.
Limita funkce
Rozšířená reálná čísla umožňují definovat limitu funkce jedním vzorcem pro konečné i nekonečné
a
:
Je-li
funkce,
a
takové, že
leží v uzávěru
( definiční obor
sice obsahuje jen konečná čísla, ale v jeho uzávěru – viz topologie na
– může ležet i nekonečno), pak říkáme, že
![{\displaystyle y=\lim _{x\to x_{0}}f(x)\iff \forall \epsilon \in \mathbb {R} ^{+}\exists \delta \in \mathbb {R} ^{+}:f[P_{\delta }(x_{0})]\subseteq P_{\epsilon }(f(x_{0}))\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/165b1332f2ebdf871ee1c12119aaa14390ad5f5c)
Tato podmínka je ekvivalentní s tvrzením, že pro každé okolí
bodu
existuje prstencové okolí
bodu
takové, že obraz
leží v
(tj.
).
Důkaz ekvivalence: Pokud je y je limitou v prvním smyslu a chceme ověřit druhou formulaci, pak ε zvolíme tak, aby
. Definice v prvním smyslu nám zaručuje existenci
s příslušnou vlastností; poté
zvolme jako
. Naopak pokud y je limitou v druhém smyslu a máme dokázat spojitost pro nějaké ε>0, pak zvolíme
a
zvolíme tak, aby
.