Abbildungstorus

In der Mathematik sind Abbildungstori topologische Räume, mit denen topologische Abbildungen beschrieben werden.

Definition

Das Möbiusband ist der Abbildungstorus der durch f ( x ) = − x {\displaystyle f(x)=-x} definierten Abbildung f : [ − 1 , 1 ] → [ − 1 , 1 ] {\displaystyle f\colon \left[-1,1\right]\rightarrow \left[-1,1\right]} .
Die Kleinsche Flasche ist ein nichttriviales Bündel über S1 mit Faser S1 und Monodromie f ( z ) = 1 z {\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}} .

Sei X {\displaystyle X} ein topologischer Raum und f : X → X {\displaystyle f\colon X\rightarrow X} ein Homöomorphismus. Der Abbildungstorus von f {\displaystyle f} ist definiert als Quotient

T f := X × [ 0 , 1 ] / ∼ {\displaystyle T_{f}:=X\times \left[0,1\right]/\sim }

von X × [ 0 , 1 ] {\displaystyle X\times \left[0,1\right]} bzgl. der Äquivalenzrelation ( x , 1 ) ∼ ( f ( x ) , 0 ) {\displaystyle (x,1)\sim (f(x),0)} für alle x ∈ X {\displaystyle x\in X} .

Faserbündel über dem Kreis

Der Kreis S 1 {\displaystyle S^{1}} kann als Quotientenraum S 1 = [ 0 , 1 ] / ∼ {\displaystyle S^{1}=\left[0,1\right]/\sim } mit 0 ∼ 1 {\displaystyle 0\sim 1} aufgefasst werden, damit definiert die Projektion auf den zweiten Faktor p : X × [ 0 , 1 ] → [ 0 , 1 ] {\displaystyle p\colon X\times \left[0,1\right]\rightarrow \left[0,1\right]} ein Faserbündel

p : T f → S 1 {\displaystyle p\colon T_{f}\rightarrow S^{1}} .

Umgekehrt ist jedes Faserbündel über dem Kreis als Abbildungstorus eines Homöomorphismus f : X → X {\displaystyle f\colon X\rightarrow X} darstellbar. Die Abbildung f {\displaystyle f} wird als Monodromie des Faserbündels bezeichnet.

Abbildungstori in der 3-dimensionalen Topologie

Abbildungstori spielen eine wichtige Rolle in Thurstons Zugang zur Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten.

Homöomorphismen kompakter Flächen fallen in eine von drei Kategorien: periodisch, reduzibel oder pseudo-Anosov. Thurston hat bewiesen, dass ein 3-dimensionaler Abbildungstorus genau dann hyperbolisch ist, wenn die Monodromie pseudo-Anosov ist.[1]

Ian Agol hat 2012 gezeigt, dass jede kompakte 3-Mannigfaltigkeit eine endliche Überlagerung besitzt, die sich als Abbildungstorus darstellen lässt.[2]

Gruppentheorie

In der Gruppentheorie definiert man Abbildungstori für Endomorphismen freier Gruppen. Sei F ( X ) = ⟨ X ∣ − ⟩ {\displaystyle F(X)=\langle X\mid -\rangle } die von einer Menge X {\displaystyle X} erzeugte freie Gruppe und ϕ : F ( X ) → F ( X ) {\displaystyle \phi \colon F(X)\rightarrow F(X)} ein Endomorphismus. Dann ist der Abbildungstorus definiert durch die Präsentierung

T ϕ := ⟨ t , X ∣ t − 1 x t = ϕ ( x )   ∀ x ∈ X ⟩ {\displaystyle T_{\phi }:=\langle t,X\mid t^{-1}xt=\phi (x)\ \forall x\in X\rangle } .
  1. ↑ Hyperbolic Structures on 3-manifolds, II: Surface groups and 3-manifolds which fiber over the circle
  2. ↑ The virtual Haken conjecture Documenta Math. 18 (2013) 1045--1087