Baker-Campbell-Hausdorff-Formel

In der Mathematik ist die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel eine nach den Mathematikern Henry Frederick Baker, John Edward Campbell und Felix Hausdorff benannte Gleichung, die ein Vertauschungsgesetz für bestimmte lineare Operatoren angibt.

Ist X ein stetiger linearer Operator eines Banachraumes in sich, dann kann man das Exponential dieses Operators wie folgt als Reihe definieren:

${\displaystyle e^{X}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}X^{k}}$

Dabei bedeutet die Multiplikation eine Hintereinanderausführung und die Addition eine punktweise Addition der beteiligten Operatoren. Der Kommutator (auch Lie-Klammer) zweier linearer Operatoren X und Y ist definiert als

${\displaystyle [X,Y]:=XY-YX\,}$

Er ist ein bilinearer Operator. Aus der Definition folgt zunächst das sogenannte Hadamard-Lemma, auch Liesche Entwicklungsformel genannt:

${\displaystyle e^{X}Ye^{-X}=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}[X,Y]_{m}}$

mit ${\displaystyle [X,Y]_{m}=[X,[X,Y]_{m-1}]\,}$ und ${\displaystyle [X,Y]_{0}=Y\,}$.

Falls ${\displaystyle [X,[X,Y]]=0\,}$ und ${\displaystyle [Y,[Y,X]]=0\,}$, gelten die einfachen Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln

${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Y}e^{X}e^{[X,Y]}\,}$

${\displaystyle e^{X+Y}=e^{X}e^{Y}e^{-[X,Y]/2}\,}$.

Für beliebige ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ ist die Formel sehr umfangreich und nur noch für ${\displaystyle X,Y}$ in einer Umgebung der ${\displaystyle 0}$ konvergierend. Sie lautet dann

${\displaystyle e^{X}e^{Y}=e^{Z(X,Y)}\,}$

mit

${\displaystyle {\begin{aligned}Z(X,Y)&{}=X+Y\\&{}+{\frac {1}{2}}[X,Y]+{\frac {1}{12}}[X,[X,Y]]-{\frac {1}{12}}[Y,[X,Y]]\\&{}\quad -{\frac {1}{24}}[Y,[X,[X,Y]]]\\&{}\quad -{\frac {1}{720}}([[[[X,Y],Y],Y],Y]+[[[[Y,X],X],X],X])\\&{}\quad +{\frac {1}{360}}([[[[X,Y],Y],Y],X]+[[[[Y,X],X],X],Y])\\&{}\quad +{\frac {1}{120}}([[[[Y,X],Y],X],Y]+[[[[X,Y],X],Y],X])+\cdots \end{aligned}}}$

• H. Baker: Proc Lond Math Soc (1) 34 (1902) 347–360; ibid (1) 35 (1903) 333–374; ibid (Ser 2) 3 (1905) 24–47.
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• L. Corwin & F.P Greenleaf: Representation of nilpotent Lie groups and their applications, Part 1: Basic theory and examples, Cambridge University Press, New York, 1990, ISBN 0-521-36034-X.
• E. B. Dynkin: Calculation of the coefficients in the Campbell-Hausdorff formula, Doklady Akad Nauk USSR, 57 (1947) 323–326.
• Brian C. Hall: Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction, Springer, 2003. ISBN 0-387-40122-9.
• F. Hausdorff: Berl Verh Saechs Akad Wiss Leipzig 58 (1906) 19–48.
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• H. Kleinert: Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 4th edition, World Scientific (Singapore, 2006) (auch lesbar hier).

• Eine englische Darstellung verschiedener Baker-Campbell-Hausdorff-Formeln