Dolbeault-Kohomologie

Die Dolbeault-Kohomologie ist eine mathematische Konstruktion aus dem Bereich der Differentialtopologie und der komplexen Geometrie. Benannt wurde sie nach dem Mathematiker Pierre Dolbeault, der sie 1953 definierte und untersuchte. Die Dolbeault-Kohomologie ist eine spezielle Kohomologietheorie. Als Analogon zur De-Rham-Kohomologie auf komplexen Mannigfaltigkeiten ist sie ebenfalls zentral in der Hodge-Theorie.

Im Folgenden werde mit ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{p,q}}$ die Menge der ${\displaystyle (p,q)}$-Differentialformen bezeichnet. Sei ${\displaystyle M}$ eine ${\displaystyle n}$-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, ${\displaystyle U\subset M}$ eine offene Teilmenge und

${\displaystyle {\overline {\partial }}\colon {\mathcal {A}}^{p,q}(U)\to {\mathcal {A}}^{p,q+1}(U)}$

der Dolbeault-Quer-Operator. Dann heißt die Sequenz

${\displaystyle 0\longrightarrow {\mathcal {A}}^{p,0}(U){\stackrel {{\overline {\partial }}_{0}}{\longrightarrow }}{\mathcal {A}}^{p,1}(U){\stackrel {{\overline {\partial }}_{1}}{\longrightarrow }}{\mathcal {A}}^{p,2}(U){\stackrel {{\overline {\partial }}_{2}}{\longrightarrow }}\ldots {\stackrel {{\overline {\partial }}_{n-1}}{\longrightarrow }}{\mathcal {A}}^{p,n}(U)\longrightarrow 0}$

${\displaystyle p}$-ter Dolbeault-Komplex. Dieser Komplex ist ein Kokettenkomplex, denn es gilt ${\displaystyle {\overline {\partial }}_{k+1}\circ {\overline {\partial }}_{k}=0.}$ Da die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit endlichdimensional ist, bricht der Komplex nach ${\displaystyle n}$ Schritten ab. Außerdem ist der Dolbeault-Komplex elliptisch, das heißt der Kokettenkomplex der Hauptsymbole von ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$ ist exakt.

Aus diesem ${\displaystyle p}$-ten Kokettenkomplex erhält man auf gewohnte Weise eine Kohomologie. Diese Kohomologie heißt ${\displaystyle p}$-te Dolbeault-Kohomologie und wird durch ${\displaystyle H_{\overline {\partial }}^{p}(U)}$ notiert. Die ${\displaystyle q}$-te Kohomologiegruppe der ${\displaystyle p}$-ten Dolbeault-Kohomologie oder kurz die ${\displaystyle (q,p)}$-te Dolbeault-Gruppe ist also definiert als

${\displaystyle H_{\overline {\partial }}^{p,q}(U)=\mathrm {Kern} \left({\overline {\partial }}_{q}\right)/\mathrm {Bild} \left({\overline {\partial }}_{q-1}\right).}$

Genauso wie bei der De-Rham-Kohomologie sind die Kohomologiegruppen auch Vektorräume.

Der Satz von Dolbeault ist ein komplexes Analogon zum Satz von de Rham. Mit ${\displaystyle \Omega ^{p}(M)}$ wird die Garbe der holomorphen ${\displaystyle p}$-Formen auf der komplexen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ bezeichnet. Der Satz von Dolbeault besagt nun, dass die ${\displaystyle q}$-te Garbenkohomologiegruppe mit Werten in den holomorphen ${\displaystyle p}$-Formen ${\displaystyle H_{G}^{q}(M,\Omega ^{p}(M))}$ isomorph zur ${\displaystyle q}$-ten Kohomologiegruppe der ${\displaystyle p}$-ten Dolbeault-Kohomologie ${\displaystyle H_{\overline {\partial }}^{p,q}(M)}$ ist. In mathematischer Kürze bedeutet dies

${\displaystyle H_{\overline {\partial }}^{p,q}(M)\cong H_{G}^{q}(M,\Omega ^{p}(M)).}$

• P. Dolbeault: Sur la cohomologie des variétés analytiques complexes. In: Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. 236, 1953, ISSN 0001-4036, S. 175–277.
• Klaus Fritzsche, Hans Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds. Springer-Verlag, New York NY 2002, ISBN 0-387-95395-7 (Graduate Texts in Mathematics 213).