Euler-Maruyama-Verfahren

Das Euler-Maruyama-Verfahren, oft auch Euler-Maruyama-Schema oder stochastisches Euler-Schema genannt, ist das einfachste Verfahren zur numerischen Lösung von stochastischen Differentialgleichungen. Es wurde erstmals in den 1950er-Jahren durch den japanischen Mathematiker Gisiro Maruyama untersucht und basiert auf dem von Leonhard Euler stammenden expliziten Euler-Verfahren zur Lösung gewöhnlicher (deterministischer) Differentialgleichungen.

Während das explizite Euler-Verfahren seit seiner Erfindung ständig verbessert und weiterentwickelt wurde (implizites Euler-Verfahren, Runge-Kutta-Verfahren, Mehrschrittverfahren) und selbst dadurch an praktischer Bedeutung verloren hat, ist Euler-Maruyama mangels entsprechender Alternativen noch immer das in der Praxis dominierende Verfahren.

Formulierung

Gegeben sei ein Wiener-Prozess ${\displaystyle (W_{t})_{t\geq 0}}$ sowie dazu folgendes stochastisches Anfangswertproblem (S-AWP):

${\displaystyle \mathrm {d} S_{t}=a(t,S_{t})\,\mathrm {d} t+b(t,S_{t})\,\mathrm {d} W_{t},\quad S_{0}=A}$.

Zur Berechnung einer numerischen Näherungslösung auf dem Intervall ${\displaystyle [0,T]}$ mit ${\displaystyle T>0}$ werden wie beim gewöhnlichen Euler-Verfahren diskrete Zeitpunkte

${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{n}=T}$

mit ${\displaystyle t_{k}=kh}$ und Schrittweite ${\displaystyle h={\tfrac {T}{n}}}$, ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ gewählt. Zusätzlich wird das stochastische Differential ${\displaystyle \mathrm {d} W_{t}}$ durch die Zuwächse

${\displaystyle \Delta W_{k}:=W_{t_{k+1}}-W_{t_{k}},\quad k=0,\ldots ,n-1}$

ersetzt. Aus den Eigenschaften des Wiener-Prozesses folgt, dass die ${\displaystyle \Delta W_{k}}$ unabhängig und normalverteilt mit Erwartungswert ${\displaystyle 0}$ und Varianz ${\displaystyle h}$ sind.

Das Euler-Maruyama-Verfahren berechnet damit eine Approximation ${\displaystyle {\hat {S}}}$ von ${\displaystyle S}$ folgendermaßen:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {S}}_{0}&=A\,,\\{\hat {S}}_{k+1}&={\hat {S}}_{k}+a(t_{k},{\hat {S}}_{k})\cdot h+b(t_{k},{\hat {S}}_{k})\cdot \Delta W_{k}\quad k=0,\ldots ,n-1\,.\end{aligned}}}$

Dann ist ${\displaystyle {\hat {S}}_{k}}$ eine Näherung für ${\displaystyle S_{t_{k}}}$.

Konvergenz des Verfahrens

Das wichtigste theoretische Resultat bezüglich des Maruyama-Schemas beschreibt dessen starke Konvergenz (oder stochastische Konvergenz) gegen die gesuchte Lösung ${\displaystyle S}$: Eine Folge von stochastischen Prozessen ${\displaystyle \left(S_{t}^{(n)}\right),\;0\leq t\leq T,\;n\in \mathbb {N} }$ auf einem gemeinsamen Wahrscheinlichkeitsraum konvergiert definitionsgemäß stark mit Ordnung ${\displaystyle q}$ gegen einen Prozess ${\displaystyle (S_{t}),\;0\leq t\leq T}$, wenn es eine Konstante ${\displaystyle c}$ gibt, so dass für alle ${\displaystyle t\in [0,T]}$:

${\displaystyle E(|S_{t}^{(n)}-S_{t}|)\leq cn^{-q}\;\;\forall t\in [0,T]}$.

Im Falle des Maruyama-Schemas kann nun gezeigt werden: Die Diskretisierung ${\displaystyle ({\hat {S}}_{t})}$ konvergiert für ${\displaystyle n\to \infty }$ stark mit Ordnung ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$ gegen die Lösung ${\displaystyle S}$ des S-AWP, wenn für alle reellen Zahlen ${\displaystyle x}$ und alle positiven ${\displaystyle s,t}$ die folgende Schranke gilt:

${\displaystyle |a(s,x)-a(t,x)|+|b(s,x)-b(t,x)|\leq K(1+|x|){\sqrt {(|t-s|)}}}$.

Von schwacher oder Verteilungskonvergenz mit Ordnung ${\displaystyle q}$ spricht man hingegen, wenn für eine Konstante ${\displaystyle c}$ gilt:

${\displaystyle |E(f(S_{t}^{(i)}))-E(f(S_{t}))|\leq cn^{-q}\;\;\forall t\in [0,T]}$

für alle Funktionen ${\displaystyle f}$, die mindestens ${\displaystyle (2q+2)}$-mal stetig differenzierbar sind und deren sämtliche Ableitungen durch Polynome beschränkt sind.

Für hinreichend glatte Koeffizientenfunktionen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ hat das Euler-Maruyama-Verfahren typischerweise die schwache Konvergenzordnung ${\displaystyle q=1}$.

Bemerkungen

• Es gibt auch Lösungsverfahren höherer starker Ordnung als das Euler-Maruyama-Verfahren, etwa das Milstein-Verfahren, das meist Ordnung 1 erreicht. Diese Verfahren sind aber numerisch aufwändiger und resultieren nicht immer in einer schnelleren Konvergenz.

• Die oben angeführte Bedingung für die starke Konvergenz mit Ordnung 0,5 ist nur wenig strenger als die Bedingung an a und b, die die Existenz der Lösung S sicherstellt. Sie ist also beinahe immer erfüllt.

• An starker Konvergenz ist man in der Praxis nur sehr selten interessiert, da zumeist nicht eine spezielle Lösung zu einem speziellen Wiener-Prozess gesucht wird, sondern vielmehr eine Stichprobe aus der Wahrscheinlichkeitsverteilung des Prozesses, wie man sie beispielsweise für Monte-Carlo-Verfahren benötigt.

• Ein implizites Maruyama-Schema als Analogon zum impliziten Euler-Verfahren ist nicht möglich; dies liegt an der Definition des (stochastischen) Ito-Integrals, über das stochastische Differentialgleichungen definiert sind und das Funktionen immer am Anfang eines Intervalls auswertet (siehe dort). Implizite Verfahren konvergieren also hier gegen teilweise völlig falsche Ergebnisse.

• Die übliche Simulation einer brownschen Bewegung durch einen gaußschen Random Walk kann als Anwendung des Euler-Maruyama-Schemas auf die triviale Differentialgleichung ${\displaystyle \mathrm {d} S_{t}=1\,\mathrm {d} W_{t},\;\;S_{0}=0}$ interpretiert werden.

Beispiel

Der folgende Beispielcode zeigt die Implementierung des Euler-Maruyama-Verfahrens zur Berechnung des Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses als Lösung des Anfangswertproblems ${\displaystyle dY_{t}=\theta \cdot (\mu -Y_{t})dt+\sigma dW_{t},\;\;Y_{0}=IC}$ in Python (3.x):

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

tBegin=0
tEnd=2
dt=.00001

t = np.arange(tBegin, tEnd, dt)
N = t.size
IC=0
theta=1
mu=1.2
sigma=0.3

sqrtdt = np.sqrt(dt)
y = np.zeros(N)
y[0] = IC
for i in range(1,N):
    y[i] = y[i-1] + dt*(theta*(mu-y[i-1])) + sigma*np.random.normal(loc=0.0,scale=sqrtdt)

fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(t,y)
ax.set(xlabel='t', ylabel='y',
       title='Euler-Maruyama-Verfahren zur Berechnung eines \n Ornstein-Uhlenbeck-Prozesses mit $\\theta=1$, $\mu=1.2$, $\sigma=0.3$')
ax.grid()
plt.show()

Literatur

• Paul Glasserman: Monte Carlo Methods in Financial Engineering. Springer 2003, ISBN 0-387-00451-3