Eulersche Differentialgleichung

Die eulersche Differentialgleichung (nach Leonhard Euler) ist eine lineare gewöhnliche Differentialgleichung höherer Ordnung mit nicht-konstanten Koeffizienten der speziellen Form

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N}a_{k}\,(cx+d)^{k}\;y^{(k)}(x)=b(x)\ ,\ cx+d>0}$

zu gegebenen ${\displaystyle N\in \mathbb {N} ,\ a_{0},\ldots ,a_{N},c,d\in \mathbb {R} ,\ c\neq 0}$ und Inhomogenität ${\displaystyle b}$. Kennt man ein Fundamentalsystem der homogenen Lösung, so kann man mit dem Verfahren der Variation der Konstanten die allgemeine Lösung der inhomogenen Gleichung bestimmen. Daher braucht nur ${\displaystyle b\equiv 0}$ betrachtet zu werden.

Die eulersche Differentialgleichung wird mittels der Transformation ${\displaystyle z(t):=y\left({\tfrac {e^{t}-d}{c}}\right)}$ in eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten überführt.

Motivation der Transformation

Sei ${\displaystyle y}$ eine genügend glatte Funktion und

${\displaystyle z(x):=y\left({\frac {e^{x}-d}{c}}\right)}$, also ${\displaystyle \ y(x)=z(\ln(cx+d))}$.

Dann gilt

${\displaystyle {\begin{array}{lll}y'(x)&=&{\frac {c}{cx+d}}z'(\ln(cx+d))\ ,\\y''(x)&=&{\frac {c^{2}}{(cx+d)^{2}}}z''(\ln(cx+d))-{\frac {c^{2}}{(cx+d)^{2}}}z'(\ln(cx+d))\ ,\\\end{array}}}$

also

${\displaystyle {\begin{array}{lll}(cx+d)y'(x)&=&c\cdot z'(\ln(cx+d))\ ,\\(cx+d)^{2}y''(x)&=&c^{2}\cdot [z''-z'](\ln(cx+d))\ .\\\end{array}}}$

Insofern würde sich die eulersche Differentialgleichung zweiter Ordnung in eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten transformieren. Es stellen sich nun folgende Fragen:

• Überführt diese Transformation auch die Terme höherer Ordnung ${\displaystyle (cx+d)^{k}y^{(k)}(x)}$ in welche mit konstanten Koeffizienten?
• Wie kann man die Koeffizienten auf der rechten Seite einfacher ausrechnen, ohne jedes Mal die Transformation genügend oft abzuleiten?

Diese Fragen werden durch den folgenden Transformationssatz geklärt:

Der Transformationssatz

Sei ${\displaystyle z}$ Lösung der linearen Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}c^{k}\left(\left[\prod _{j=0}^{k-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(x)=0\ .}$

Dann ist

${\displaystyle \ y(x):=z(\ln(cx+d))}$

eine Lösung der (homogenen) eulerschen Differentialgleichung

${\displaystyle \sum _{k=0}^{N}a_{k}(cx+d)^{k}y^{(k)}(x)=0\ ,\ cx+d>0\ .}$

Erläuterung zur Notation

Hierbei werden zunächst die Differentialoperatoren miteinander (vergleichbar dem Ausmultiplizieren) verknüpft, bevor sie auf eine Funktion angewandt werden, beispielsweise:

${\displaystyle \left[\prod _{j=0}^{-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z=z\ ,}$

${\displaystyle \left[\prod _{j=0}^{0}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z=\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-0\right)z=z'\ ,}$

${\displaystyle \left[\prod _{j=0}^{1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z=\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-0\right)\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-1\right)z=\left({\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}x^{2}}}-{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\right)z=z''-z'\ ,}$

${\displaystyle \left[\prod _{j=0}^{2}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z=\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-0\right)\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-1\right)\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-2\right)z=\left({\frac {\rm {d^{3}}}{{\rm {d}}x^{3}}}-3{\frac {\rm {d^{2}}}{{\rm {d}}x^{2}}}+2{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\right)z=z'''-3z''+2z'\ .}$

Beweis

Zu zeigen ist lediglich ${\displaystyle c^{k}\left(\left[\prod _{j=0}^{k-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))=(cx+d)^{k}y^{(k)}(x)}$ für alle ${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$. Dies geschieht mittels vollständiger Induktion. Der Induktionsanfang ${\displaystyle k=0}$ ist trivial. Unter Voraussetzung der Gültigkeit der Identität für ${\displaystyle k_{0}\in \mathbb {N} _{0}}$ kann diese Identität differenziert werden. Es ergibt sich

${\displaystyle (cx+d)^{k_{0}}y^{(k_{0}+1)}(x)+ck_{0}(cx+d)^{k_{0}-1}y^{(k_{0})}(x)={\frac {c^{k_{0}+1}}{cx+d}}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left[\prod _{j=0}^{k_{0}-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))\ .}$

Anwenden der Induktionsvoraussetzung impliziert

${\displaystyle {\begin{array}{lll}(cx+d)^{k_{0}+1}y^{(k_{0}+1)}(x)&=&c^{k_{0}+1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left[\prod _{j=0}^{k_{0}-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))-ck_{0}(cx+d)^{k_{0}}y^{(k_{0})}(x)\\&=&c^{k_{0}+1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left[\prod _{j=0}^{k_{0}-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))\\&&\quad -c^{k_{0}+1}k_{0}\left(\left[\prod _{j=0}^{k_{0}-1}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))\\&=&c^{k_{0}+1}\left(\left[\prod _{j=0}^{k_{0}}\left({\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}-j\right)\right]z\right)(\ln(cx+d))\ .\\\end{array}}}$

Folgerung: Konstruktion eines Fundamentalsystems

Die charakteristische Gleichung für die Differentialgleichung von ${\displaystyle z}$ lautet

${\displaystyle \chi (\lambda )=\sum _{k=0}^{n}a_{k}c^{k}\prod _{j=0}^{k-1}(\lambda -j)=0\ .}$

Bezeichnen nun ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{M}}$ die Nullstellen des charakteristischen Polynoms ${\displaystyle \chi (\lambda )}$ und ${\displaystyle R_{j}}$ die Vielfachheit von ${\displaystyle \lambda _{j}}$, so bildet

${\displaystyle \{z_{j,k}(x)=e^{\lambda _{j}x}x^{k}\ |\ j=1,\ldots ,M\ ,\ k=0,\ldots ,R_{j}-1\}}$

ein Fundamentalsystem der Gleichung für ${\displaystyle z}$. Also ist

${\displaystyle \{y_{j,k}(x)=(cx+d)^{\lambda _{j}}[\ln(cx+d)]^{k}\ |\ j=1,\ldots ,M\ ,\ k=0,\ldots ,R_{j}-1\}}$

ein Fundamentalsystem der (homogenen) eulerschen Differentialgleichung.

Beispiel

Gegeben sei die eulersche Differentialgleichung

${\displaystyle a_{2}x^{2}y''(x)+a_{1}xy'(x)+a_{0}y(x)=0\ ,\ a_{2}\neq 0\ ,\ x>0\ .}$

Zu lösen ist nach obigem Satz zunächst die folgende lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

${\displaystyle a_{2}(z''(x)-z'(x))+a_{1}z'(x)+a_{0}z(x)=0\ ,}$

also

${\displaystyle a_{2}z''(x)+(a_{1}-a_{2})z'(x)+a_{0}z(x)=0\ .}$

Das zu dieser Differentialgleichung gehörige charakteristische Polynom lautet

${\displaystyle \chi (\lambda )=\ a_{2}\lambda ^{2}+(a_{1}-a_{2})\lambda +a_{0}}$

und besitzt die Nullstellen

${\displaystyle \lambda _{1,2}={\frac {a_{2}-a_{1}}{2a_{2}}}\pm {\sqrt {{\frac {(a_{2}-a_{1})^{2}}{4a_{2}^{2}}}-{\frac {a_{0}}{a_{2}}}}}\ .}$

Fall 1: ${\displaystyle \lambda _{1}\neq \lambda _{2}}$, beide reell.

Dann ist ${\displaystyle \{e^{\lambda _{1}z},e^{\lambda _{2}z}\}}$ ein Fundamentalsystem für die transformierte lineare Differentialgleichung. Die Rücktransformation liefert, dass ${\displaystyle \{x^{\lambda _{1}},x^{\lambda _{2}}\}}$ ein Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung ist.

Fall 2: ${\displaystyle \ \lambda _{1}=\lambda _{2}}$.

Dann ist ${\displaystyle \lambda :={\frac {a_{2}-a_{1}}{2a_{2}}}}$ eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms. Daher ist ${\displaystyle \ \{e^{\lambda z},ze^{\lambda z}\}}$ ein Fundamentalsystem für die transformierte lineare Differentialgleichung. Die Rücktransformation liefert, dass ${\displaystyle \ \{x^{\lambda },x^{\lambda }\ln x\}}$ ein Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung ist.

Fall 3: ${\displaystyle \ \lambda _{1},\lambda _{2}}$ beide nicht reell.

Dann sind ${\displaystyle \ \lambda _{1},\lambda _{2}}$ komplex konjugiert zueinander. Also ist ${\displaystyle \ \{e^{\lambda _{1}z},e^{\lambda _{2}z}\}}$ ein (komplexes) Fundamentalsystem. Sei ${\displaystyle \ \lambda _{1}=\mu +i\nu }$, ${\displaystyle \mu ,\nu \in \mathbb {R} }$. Dann ist ${\displaystyle \ \{e^{\mu z}\sin(\nu z),e^{\mu z}\cos(\nu z)\}}$ ein reelles Fundamentalsystem der transformierten linearen Differentialgleichung. Rücktransformation liefert ${\displaystyle \ \{x^{\mu }\sin(\nu \ln x),x^{\mu }\cos(\nu \ln x)\}}$ als Fundamentalsystem für die ursprüngliche eulersche Differentialgleichung.

Literatur

• Earl A. Coddington, Norman Levinson: Theory of Ordinary Differential Equations. McGraw-Hill, New York 1955, ISBN 978-0-07-011542-2.
• Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Seite 240, Vieweg + Teubner, Stuttgart 2009, ISBN 978-3-8348-0705-2