HWI-Ungleichung

Die HWI-Ungleichung ist eine Funktionalungleichung aus der Theorie des optimalen Transportes, welche die relative Entropie eines Wahrscheinlichkeitsmaßes bezüglich eines Referenzmaßes durch die Wasserstein-Distanz mit quadratischen Transportkosten und die relative Fisher-Information nach oben beschränkt. Sie impliziert eine Transport-Ungleichung von Talagrand und eine logarithmische Sobolew-Ungleichung für gaußsche Maße.

Die Gleichung wurde 2000 von Felix Otto und Cédric Villani bewiesen.^[1]

Sei

• ${\displaystyle (E,d)}$ ein polnischer Raum mit Borel-σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}(E)}$,
• ${\displaystyle {\mathcal {P}}(E)}$ der Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße auf ${\displaystyle (E,{\mathcal {B}}(E))}$.
• ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}(E)}$ der Raum der Wahrscheinlichkeitsmaße auf ${\displaystyle (E,{\mathcal {B}}(E))}$ mit endlichem ${\displaystyle n}$-ten Moment.
• ${\displaystyle {\mathcal {B}}(E\times E),{\mathcal {P}}(E\times E)}$ definieren wir analog für den Produktraum ${\displaystyle E\times E}$,
• ${\displaystyle dx}$ das Lebesgue-Maß,
• ${\displaystyle C^{p}(A,B)}$ der Raum der ${\displaystyle p}$-mal stetig differenzierbaren Funktionen der Form ${\displaystyle f:A\to B}$,
• ${\displaystyle I_{n}}$ die ${\displaystyle n}$-dimensionale Identitätsmatrix.

Seien ${\displaystyle \mu ,\nu \in {\mathcal {P}}(E)}$, dann nennen wir ein ${\displaystyle \pi \in {\mathcal {P}}(E\times E)}$ eine Kopplung von ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$, falls ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \nu }$ seine Marginalen sind, das heißt ${\displaystyle \pi (dx\times E)=\mu (dx)}$ und ${\displaystyle \pi (E\times dx)=\nu (dx)}$. Mit ${\displaystyle \textstyle \prod (\mu ,\nu )}$ notieren wir den Raum aller Kopplungen von ${\displaystyle (\mu ,\nu )}$.

Wir nehmen nun an, dass ${\displaystyle \mu }$ absolut stetig bezüglich ${\displaystyle \nu }$ ist. Dann definieren wir weiter

• ${\displaystyle H(\mu \mid \nu )}$ die relative Entropie

${\displaystyle H(\mu \mid \nu )=\int _{E}\log \left({\frac {d\mu }{d\nu }}\right)d\mu =\int _{E}{\frac {d\mu }{d\nu }}\log \left({\frac {d\mu }{d\nu }}\right)d\nu }$,

• ${\displaystyle W_{p}(\mu \mid \nu )}$ die Wasserstein-Distanz

${\displaystyle W_{p}(\mu \mid \nu )=\inf \limits _{\pi \in \Pi (\mu ,\nu )}\left(\int _{E\times E}d(x,y)^{p}d\pi (x,y)\right)^{1/p}}$,

• ${\displaystyle I(\mu \mid \nu )}$ die relative Fisher-Information

${\displaystyle I(\mu \mid \nu )=\int _{E}\left|\nabla \log \left({\frac {d\mu }{d\nu }}\right)\right|^{2}d\mu =4\int _{E}\left|\nabla {\sqrt {\frac {d\mu }{d\nu }}}\right|^{2}d\mu }$.

Sei nun ${\displaystyle E=\mathbb {R} ^{n}}$ und ${\displaystyle V\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )}$. Nehme an, dass ${\displaystyle \nu \in {\mathcal {P}}_{2}(E)}$ von der Form

${\displaystyle \nu (dx)=e^{-V}dx}$

und ${\displaystyle \mu }$ absolut stetig bezüglich ${\displaystyle \nu }$ ist. Weiter soll für die Hesse-Matrix

${\displaystyle \operatorname {Hess} (V)\geq kI_{n}}$

für ein ${\displaystyle k\in \mathbb {R} }$ gelten.

Dann gilt die HWI-Ungleichung^[2][3]

${\displaystyle H(\mu \mid \nu )\leq W_{2}(\mu \mid \nu ){\sqrt {I(\mu \mid \nu )}}-{\frac {k}{2}}W_{2}(\mu \mid \nu )^{2}.}$

Falls ${\displaystyle V}$ konvex ist, dann gilt

${\displaystyle H(\mu \mid \nu )\leq W_{2}(\mu \mid \nu ){\sqrt {I(\mu \mid \nu )}}.}$

Falls ${\displaystyle k>0}$, dann impliziert die HWI-Ungleichung die logarithmische Sobolew-Ungleichung mit Konstante ${\displaystyle k}$ sowie die Talagrand-Ungleichung mit Konstante ${\displaystyle k}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, notiert mit ${\displaystyle LSE(k)}$ respektive ${\displaystyle T(k)}$ für Maße der Form^[2]

${\displaystyle \nu (dx)=e^{-V}dx}$

Es existiert auch eine Variante für glatte, zusammenhängende, vollständige riemannsche Mannigfaltigkeiten.^[4]

• Cédric Villani: Topics in Optimal Transportation. Hrsg.: American Mathematical Society. Vereinigte Staaten 2021, ISBN 978-1-4704-6726-5, S. 301. 

1. ↑ Felix Otto und Cédric Villani: Generalization of an Inequality by Talagrand and Links with the Logarithmic Sobolev Inequality. In: Journal of Functional Analysis. Band 173, Nr. 2, 2000, S. 361–400, doi:10.1006/jfan.1999.3557. 
2. ↑ ^{a b} Felix Otto und Cédric Villani: Generalization of an Inequality by Talagrand and Links with the Logarithmic Sobolev Inequality. In: Journal of Functional Analysis. Band 173, Nr. 2, 2000, S. 367, doi:10.1006/jfan.1999.3557. 
3. ↑ Cédric Villani: Topics in Optimal Transportation. Hrsg.: American Mathematical Society. Vereinigte Staaten 2021, ISBN 978-1-4704-6726-5, S. 301. 
4. ↑ Ivan Gentil, Christian Léonard, Luigia Ripani, Luca Tamanini: An entropic interpolation proof of the HWI inequality. In: Stochastic Processes and their Applications. Band 130, Nr. 2, 2020, S. 907–923, doi:10.1016/j.spa.2019.04.002, arxiv:1807.06893.