Distribución de Fréchet

Fréchet
Parámetros α ∈ ( 0 , ∞ ] {\displaystyle \alpha \in (0,\infty ]}
Dominio x > 0 {\displaystyle x>0}
Función de densidad (pdf) α x − 1 − α e − x − α {\displaystyle \alpha \;x^{-1-\alpha }\;e^{-x^{-\alpha }}}
Función de distribución (cdf) e − x − α {\displaystyle e^{-x^{-\alpha }}}
Media Γ ( 1 − 1 α )  if  α > 1 {\displaystyle \Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right){\text{ if }}\alpha >1}
Mediana ( 1 log e ⁡ ( 2 ) ) 1 / α {\displaystyle \left({\frac {1}{\log _{e}(2)}}\right)^{1/\alpha }}
Moda ( α 1 + α ) 1 / α {\displaystyle \left({\frac {\alpha }{1+\alpha }}\right)^{1/\alpha }}
Varianza Γ ( 1 − 2 α ) − ( Γ ( 1 − 1 α ) ) 2  if  α > 2 {\displaystyle \Gamma \left(1-{\frac {2}{\alpha }}\right)-\left(\Gamma \left(1-{\frac {1}{\alpha }}\right)\right)^{2}{\text{ if }}\alpha >2}
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La distribución de Fréchet es un caso especial de la distribución de valores extremos generalizada. Su función de distribución es

P r ( X ≤ x ) = e − x − α  si  x > 0. {\displaystyle Pr(X\leq x)=e^{-x^{-\alpha }}{\text{ si }}x>0.}

donde α > 0 es el parámetro de forma. Puede generalizarse para incluir un parámetro de localización m y escala s > 0 quedando entonces de la forma

P r ( X ≤ x ) = e − ( x − m s ) − α  if  x > m . {\displaystyle Pr(X\leq x)=e^{-\left({\frac {x-m}{s}}\right)^{-\alpha }}{\text{ if }}x>m.}

Recibe su nombre de Maurice Fréchet, que escribió un artículo relacionado con ella en 1927. También trabajaron con ella Fisher y Tippett en 1928 y Gumbel en 1958.

Aplicación

Aplicación de la distribución de probabilidad acumulada de Fréchet a lluvias diárias máximas.[1]​


  • En hidrología, se utiliza la distribución de Fréchet para analizar variables aleatorias como valores máximos de la precipitación y la descarga de ríos,[2]​ y además para describir épocas de sequía.[3]​
La imagen azul ilustra un ejemplo de ajuste de la distribución de Fréchet a lluvias máximas diarias ordenadas, mostrando también la franja de 90% de confianza, basada en la distribución binomial.

Las observaciones presentan los marcadores de posición, como parte del análisis de frecuencia acumulada.

Véase también

  • Distribución de Gumbel de tipo 2

Referencias

  1. ↑ CumFreq software para adecuación de distribuciones de probabilidad [1]
  2. ↑ Oosterbaan, R.J. (1994). «Chapter 6 Frequency and Regression Analysis». En Ritzema, H.P., ed. Drainage Principles and Applications, Publication 16. Wageningen, The Netherlands: International Institute for Land Reclamation and Improvement (ILRI). pp. 175-224. ISBN 90-70754-33-9. 
  3. ↑ Burke, Eleanor J.; Perry, Richard H.J.; Brown, Simon J. (2010). «An extreme value analysis of UK drought and projections of change in the future». Journal of Hydrology 388: 131. doi:10.1016/j.jhydrol.2010.04.035. 

Enlaces externos

  • Bank of England working paper
  • An application of a new extreme value distribution to air pollution data (enlace roto disponible en Internet Archive; véase el historial, la primera versión y la última).
  • Wave Analysis for Fatigue and Oceanography
  • Extreme value distributions: Theory and Applications, Kotz & Nadarajah Archivado el 6 de septiembre de 2008 en Wayback Machine.

Publicaciones

  • Fréchet, M., (1927). "Sur la loi de probabilité de l'écart maximum." Ann. Soc. Polon. Math. 6, 93.
  • Fisher, R.A., Tippett, L.H.C., (1928). "Limiting forms of the frequency distribution of the largest and smallest member of a sample." Proc. Cambridge Philosophical Society 24:180-190.
  • Gumbel, E.J. (1958). "Statistics of Extremes." Columbia University Press, New York.


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