La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de primer orden mediante el cambio de variable
, esta ecuación es de la forma
donde
y
son funciones continuas en un intervalo abierto
con
.
Solución
Caso general (
)
Dividimos la ecuación diferencial entre
y obtenemos
![{\displaystyle {\frac {1}{y^{\alpha }}}{\frac {dy}{dx}}+P(x)\;{\frac {y}{y^{\alpha }}}=Q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdac1b8aa13b66fca24506ae520c5c4a2ca0e74c)
o, equivalentemente
![{\displaystyle {\frac {1}{y^{\alpha }}}{\frac {dy}{dx}}+P(x)y^{1-\alpha }=Q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3a79aeb8985f39f8d3c707d35cbe871964d3e39)
Definiendo
obtenemos las igualdades
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dz}{dx}}&=(1-\alpha )y^{-\alpha }{\frac {dy}{dx}}={\frac {1-\alpha }{y^{\alpha }}}{\frac {dy}{dx}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba032a4aa2c9aab484ec45035b17d121aad64a15)
o
![{\displaystyle {\frac {1}{1-\alpha }}{\frac {dz}{dx}}={\frac {1}{y^{\alpha }}}{\frac {dy}{dx}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99f6bcff8780f7dba4249165a5675f31a810b58b)
Reemplazando en la ecuación diferencial
![{\displaystyle {\frac {1}{1-\alpha }}{\frac {dz}{dx}}+P(x)z=Q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65d082839e61f0ad88d36cde861a802e8cc3cc8c)
![{\displaystyle {\frac {dz}{dx}}+(1-\alpha )P(x)z=(1-\alpha )Q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06de832869ce8fbd6eb7ac406447b9fbc4c7736a)
Ecuación que resulta ser una ecuación diferencial lineal cuya solución está dada por
![{\displaystyle z=e^{-(1-\alpha )\int P(x)dx}\left(\int e^{(1-\alpha )\int P(x)dx}(1-\alpha )Q(x)dx+C\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e736f56d0e0dec4f40a164b3184963b1f1f6616d)
donde
es una constante arbitraria, como
entonces
![{\displaystyle y^{1-\alpha }=e^{-(1-\alpha )\int P(x)dx}\left((1-\alpha )\int e^{(1-\alpha )\int P(x)dx}Q(x)dx+C\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa0788851725ce561e6c07093ed0adc439a47f26)
Finalmente
![{\displaystyle y={\sqrt[{1-\alpha }]{e^{-(1-\alpha )\int P(x)dx}\left((1-\alpha )\int e^{(1-\alpha )\int P(x)dx}Q(x)dx+C\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ae6d53906365f297b7e0671fcd7000712f5bf86)
![{\displaystyle y=e^{-\int P(x)dx}\left[{\sqrt[{1-\alpha }]{(1-\alpha )\int e^{(1-\alpha )\int P(x)dx}Q(x)dx+C}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d6f6932794c1bc1c9d5ae524f498d500f95f7a6)
Casos particulares
Cuando
entonces la ecuación
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)y^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07d51894824453683d0eee10bca01ecfec6b00ca)
se reduce a la ecuación
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b21d0a3679521d1dd37ea3249f684f1f175e825)
cuya solución está dada por
![{\displaystyle y=e^{-\int P(x)dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb3e3038117b223b8e16d0f4c76f6c2839abe48f)
Cuando
entonces la ecuación
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)y^{\alpha }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07d51894824453683d0eee10bca01ecfec6b00ca)
se reduce a
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+P(x)y=Q(x)y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d1765ab2606420b4f2a32154254b7f9edddc6b2)
que puede resolverse mediante variables separables, dicha solución está dada por
![{\displaystyle \ln y=\int (Q(x)-P(x))dx+C}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a13716a85f6e96c42c923ce958c8c0ba3e06d30)
Ejemplo
Para resolver la ecuación:
(*)
Se hace el cambio de variable
, que introducido en (*) da simplemente:
(**)
Multiplicando la ecuación anterior por el factor:
se llega a:
Si se sustituye (**) en la última expresión y operando:
Que es una ecuación diferencial lineal que puede resolverse fácilmente. Primeramente se calcula el factor integrante típico de la ecuación de Bernouilli:
Y se resuelve ahora la ecuación:
Deshaciendo ahora el cambio de variable:
Teniendo en cuenta que el cambio que hicimos fue
:
Véase también
Bibliografía
- Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). McGraw-Hill, ed. Fórmulas y tablas de matemática aplicada. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7.
Enlaces externos
- Bernoulli equation en PlanetMath.
Control de autoridades | - Proyectos Wikimedia
Datos: Q793674 |
---|
Datos: Q793674