Número de Liouville

En teoría de números, un número de Liouville es un número real x tal que, para cualquier entero positivo n, existen otros dos enteros p y q, q > 1, que satisfacen:

${\displaystyle 0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n}}}.}$

Gracias a las fracciones continuas sabemos que todo número real puede aproximarse por infinitos racionales p/q que verifican 0 < |x − p/q| < 1/q². Los números de Liouville son aquellos para los cuales el 2 en el exponente de q puede ser cambiado por cualquier natural n, o sea que de alguna manera son los "mejor aproximados" por racionales.

Algunas propiedades

• Todo número de Liouville es irracional.
• Los números de Liouville son trascendentes.
• El conjunto de números de Liouville tiene medida de Lebesgue cero.
• El conjunto de números de Liouville puede obtenerse como una intersección numerable de abiertos densos en ℝ.^[1]​ Como consecuencia de esto (utilizando el teorema de Baire y que los reales forman un espacio métrico completo) se deduce que este conjunto es no numerable y denso en los reales.

Constante de Liouville

El ejemplo más conocido de número de Liouville es el que se denomina "constante de Liouville", definido como:

${\displaystyle {\sum _{k=1}^{\infty }}10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots }$

Este fue el primer número que pudo demostrarse que es trascendente, prueba debida a Joseph Liouville (1850).^[2]​

Referencias