Trisectriz de Longchamps

La trisectriz de Longchamps (también conocida como trébol equilátero) es una curva plana que lleva el nombre del matemático francés Gohierre de Longchamps (1842-1906),^[1]​ con la propiedad de se puede utilizar para realizar la trisección de un ángulo (de ahí la denominación de trisectriz).

Definición

En un círculo con un centro ${\displaystyle M}$ y diámetro ${\displaystyle AB}$, el punto ${\displaystyle B'}$ gira a una velocidad constante en la dirección angular positiva y el punto ${\displaystyle A'}$ gira a doble velocidad en la dirección opuesta. El punto ${\displaystyle B'}$ comienza en el punto ${\displaystyle B}$ y el punto ${\displaystyle A'}$ en el otro extremo del diámetro en el punto ${\displaystyle A}$. Las tangentes del círculo en los puntos ${\displaystyle A'}$ y ${\displaystyle B'}$ se cruzan en un punto ${\displaystyle E}$. El lugar geométrico de los puntos ${\displaystyle E}$ es la trisectriz de Longchamps.

Ecuaciones

Para un círculo con radio ${\displaystyle a}$, cuyo centro está en el origen del sistema de coordenadas, se obtiene la siguiente ecuación en coordenadas polares:^[2]​

${\displaystyle r=-{\frac {a}{\cos(3\varphi )}}}$.

La siguiente ecuación en coordenadas cartesianas se deduce de la expresión anterior:

${\displaystyle x(x^{2}-3y^{2})+a(x^{2}+y^{2})=0}$.

Utilizando el parámetro ${\displaystyle \gamma :[0,2\pi ]\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$ en coordenadas cartesianas, se obtiene con funciones trigonométricas la forma:

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {\cos(t)}{\cos(3t)}}a\\-{\frac {\cos(t)}{\sin(3t)}}a\end{pmatrix}}}$.

También es posible expresar la curva según el parámetro ${\displaystyle \gamma :(-\infty ,\infty )\rightarrow \mathbb {R} ^{2}}$ en coordenadas cartesianas con funciones racionales:^[1]​

${\displaystyle \gamma (t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1+t^{2}}{1-3t^{2}}}a\\{\frac {1+t^{2}}{1-3t^{2}}}at\end{pmatrix}}}$.

Propiedades

La trisectriz de Longchamps tiene tres asíntotas y tres ejes de simetría:

Asíntotas

• ${\displaystyle x={\frac {a}{3}}}$,
• ${\displaystyle y=-{\frac {1}{\sqrt {3}}}x-{\frac {2a}{3{\sqrt {3}}}}}$.
• ${\displaystyle y={\frac {1}{\sqrt {3}}}x+{\frac {2a}{3{\sqrt {3}}}}}$

Ejes de simetría

• ${\displaystyle y=0}$
• ${\displaystyle y={\frac {\sqrt {3}}{2}}x}$
• ${\displaystyle y=-{\frac {\sqrt {3}}{2}}x}$

La inversión de la trisectriz respecto al círculo de su definición genera un trébol regular.^[1]​

Referencias

Bibliografía

• Gino Loria: Spezielle algebraische und transscendente Ebene Kurven: Theorie und Geschichte. Teubner, 1902, S. 87–88
• Heinrich Wieleitner: Spezielle Ebene Kurven. G. J. Göschen, Leipzig 1908, S. 47
• Vladimir Rovenski: Geometry of Curves and Surfaces with MAPLE. Springer, 2013, ISBN 9781461221289, S. 70
• Eugene V. Shikin: Handbook and Atlas of Curves. CRC Press, 1996, ISBN 9780849389634, S. 355

Enlaces externos

• Wikimedia Commons alberga una categoría multimedia sobre Trisectriz de Longchamps.
• Longchamps trisectrix en mathcurve.com