Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza

Matematikan, Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza, Schwarz-en desberdintza, Cauchy-ren desberdintza eta Cauchy-Schwarz-en desberdintza izenekin ere ezagutzen da. Desberdintza hau matematikaren hainbat arlotan aplikatu ohi da, besteak beste, aljebra lineala^[1], analisi matematikoa^[2] eta probabilitate teorian^[3].

Augustin Louis Cauchy (1821) batuketarako desberdintza publikatu zuen, aldiz, Vitor Yakovlevich Bunyakovsky (1859) integralei dagokion desberdintza ezarri zuen eta ondoren, Hermann Amandus Schwarzek (1888) berraurkitu zuen.

Cauchy-Schwarz-en desberdintza

Izan bedi ${\displaystyle V}$ espazio bektorial konplexua biderketa eskalarrarekiko, non ${\displaystyle u,v\in V}$ bektoreek Cauchy-Schwarz-en desberdintza betetzen dute.

${\displaystyle \left\vert (u,v)\right\vert ^{2}\leq (u,u)(v,v)}$

Non ${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$ biderketa eskalarra den.

Frogapena

Har dezagun ${\displaystyle \lambda u-\mu v}$ bektoreen konbinazioa non ${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Biderketa eskalarraren propietateengatik, bektore honen biderketa bere buruarekiko handiago edo berdin zero da beti.

${\displaystyle (\lambda u-\mu v,\lambda u-\mu v)}$${\displaystyle \geq 0}$

Linealtasuna biderketa eskalarraren eskumatik aplikatuz, aurreko espresioa garatu daiteke.

${\displaystyle |\lambda |^{2}}$${\displaystyle (u,u)}$${\displaystyle -2\left\vert (u,v)\right\vert ^{2}(u,u)}$${\displaystyle +(u,u)^{2}(v,v)}$${\displaystyle \geq 0}$

Eta azkenik:

${\displaystyle (u,u)(v,v)\geq }$${\displaystyle \left\vert (u,v)\right\vert ^{2}}$

Q.E.D

Beraz, desberdintza berdintza bihurtzen da baldin eta soilik baldin bektoreak linealki dependienteak badira haien artean.

Kasu berezia: Desberdintza V espazio bektoriala ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-ren gain

Izan bitez ${\displaystyle {a_{1},\cdots ,a_{n}}}$ eta ${\displaystyle b_{1},\dots ,b_{n}}$ edozein zenbaki errealak.

Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\Biggr )}^{2}}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle {\Biggl (}\sum _{k=1}^{n}\ a_{k}^{2}{\Biggr )}}$${\displaystyle {\Biggl (}\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}{\Biggr )}}$

Gainera, desberdintza egiaztatzen da baldin eta soilik baldin existitzen bada zenbaki erreal bat ${\displaystyle x}$ non ${\displaystyle a_{k}x+b_{k}=0}$ edozein ${\displaystyle k=1,\dots ,n}$.

Frogapena

Karratuen batuketa ezin da inoiz negatiboa izan, beraz, hauxe daukagu:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}}$${\displaystyle (a_{k}x+b_{k})^{2}}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle {\Biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}{\Biggr )}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle 2{\Biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\Biggr )}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}}$ ${\displaystyle \geq 0}$

edozein ${\displaystyle x}$ zenbaki erreal izanik.

Desberdintza betetzen da baldin eta soilik baldin batuketaren termino bakoitza (${\displaystyle a_{k}x}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle b_{k}}$ edozein ${\displaystyle k}$) berdin zero bada.

Desberdintza hau modu honetan idatz daiteke:

${\displaystyle Ax^{2}}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle 2Bx}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \geq 0}$

non

${\displaystyle A}$ ${\displaystyle =}$ ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}}$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B=}$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k},}$ ${\displaystyle C=}$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}}$

Aurreko ekuazioak polinomio koadratiko batek ezin izango duela izan bi erro errealak zehazten du, handiago edo berdin zero delako beti. Hortaz, bere diskriminatzailea txikiago edo berdin zero izan behar da.

${\displaystyle \Delta =(2B)^{2}-4AC=4(B^{2}-AC)\leq 0,}$

Orduan:

${\displaystyle B^{2}\leq AC,}$ eta hauxe da Cauchy-Schwarz-en desberdintza.

Notazio bektoriala erabiliz, Cauchy-Schwarz-en desberdintzak forma hau hartzen du:

${\displaystyle (a\cdot b)^{2}\leq \lVert a\rVert ^{2}\lVert b\rVert ^{2}}$

non

${\displaystyle a=(a_{1},...,a_{n}),b=(b_{1},...,b_{n})}$ bi bektore n dimentsiokoak diren, ${\displaystyle a\cdot b=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}}$ haien biderkadura eskalarra den eta ${\displaystyle \lVert a\rVert ={\sqrt {(a,a)}}}$ ${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle \lVert b\rVert ={\sqrt {(b\cdot b)}}}$ a eta b-ren norma diren.

Bitxikeriak

• Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza Hölder desberdintzaren kasu partikular batekin froga daiteke, p=q=2-rekin.
• Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza Lagrange-en identitatearen kasu partikular batekin froga daiteke, baita zenbaki konplexuko kasurako ere.
• Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza biderketa eskalarra topologia induzituarekiko funtzio jarraitua dela frogatzeko erabiltzen da.
• Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza Bessel-en desberdintza frogatzeko erabiltzen da.
• Heisenberg-en ziurgabetasun printzipioaren formula orokorra Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz-en desberdintza erabiliz deribatzen da biderketa eskalarrarekiko uhin funtzio fisikoen espazioan definituta.

Erreferentziak

Bibliografia

• Hardy, G., Littlewood J.E., Polya, G. (1999). Inequalities, Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8
• H. Minkowski, Geometrie der Zahlen , Chelsea, reprint (1953)
• M.I. Voitsekhovskii (2001), "Minkowski inequality", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

Ikus, gainera

• Hölderren desberdintza
• Minkowskiren desberdintza

Kanpo estekak

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Cauchy Schwarz inequality», Encyclopaedia of Mathematics (ingeleses), Springer, ISBN 978-1556080104.

• Datuak: Q190546