Brownin liike

Esimerkki Brownin liikkeen simuloinnista kahdessa ulottuvuudessa.

Brownin liike on nesteessä tai kaasussa olevia hyvin pieniä hiukkasia mikroskoopilla tarkasteltaessa havaittava satunnainen ja itsenäinen siksak-liike. Ilmiön havaitsi kasvitieteilijä Robert Brown vuonna 1827 tutkiessaan mikroskoopin avulla vedessä kelluvaa kasvien siitepölyä.[1]

Aluksi Brown piti havaitsemaansa liikettä vain elolliselle luonnolle ominaisena ilmiönä, mutta havaitsi pian, että samanlainen liike ilmeni silloinkin, kun nesteessä leijui hienojakoista epäorgaanista jauhetta. Liikkeen syy oli kuitenkin hämärän peitossa vuoteen 1905 saakka, jolloin Albert Einstein selitti hiukkasten liikeratojen johtuvan siitä, että niitä pommittaa jatkuvasti molekyylien lämpöliike.[1]

Hiukkasia pommittaa joka puolelta atomien ja molekyylien lämpöliike. Suurilla hiukkasilla on joka puolella keskimäärin saman verran törmäyksiä joka hetki. Koska ne kumoavat toisensa, iso hiukkanen pysyy käytännössä paikallaan. Mutta pienellä hiukkasella saattaa tietyllä hetkellä yhdelle sivulle törmätä 100 000 molekyyliä ja toiselle 100 002 molekyyliä, jotka eivät kumoakaan toisiaan, ja näin parin molekyylin ylijäämäimpulssi riittää potkaisemaan pienen hiukkasen liikkeeseen vastakkaiseen suuntaan. Jonkin ajan kuluttua tilanne toistuu, mutta toiseen satunnaiseen suuntaan. Lopputuloksena syntyy satunnainen siksak-liikerata.

Vastaava ilmiö havaitaan kaasussa, esimerkiksi hyvin ohuessa kvartsilangassa roikkuvalla hyvin pienellä peilillä. Kun valonsäde heijastetaan peilin kautta valkokankaalle, havaitaan peiliin kohdistuva kaasumolekyylien pommitus pienenä valonsäteen värinänä valkokankaalla.

Einstein osoitti, että ajassa t, a-säteinen pallo diffundoituu keskimäärin mihin tahansa suuntaan sellaisen matkan x, että matkan neliön odotusarvo on: ⟨ x 2 ⟩ = k T t 3 π η a {\displaystyle \left\langle x^{2}\right\rangle ={\frac {kTt}{3\pi \eta a}}}
jossa η {\displaystyle \eta } on fluidin viskositeetti, k Boltzmannin vakio ja T (absoluuttinen) lämpötila.[2]

Koska keskimääräinen siirtymä oli mikroskoopin avulla mitattavissa, tätä kaavaa voitiin kääntäen käyttää Boltzmannin vakion suuruuden määrittämiseen, minkä Jean Perrin tekikin muutamaa vuotta myöhemmin. Kun Boltzmannin vakiolle k oli saatu likiarvo, Avogadron vakio NA pystyttiin määrittämään relaatiosta k = R / N A {\displaystyle k=R/N_{A}} , jossa R on kaasuvakio. Tämä oli yksi ensimmäisistä Avogadron vakion määrityksistä, ja se kumosi osaltaan atomin olemassaolosta vielä tuohon aikaan esiintyneet epäilykset.[1]

Matemaattinen Brownin liike

Brownin liikkeen matemaattinen malli, jota myös nimitetään Brownin liikkeeksi tai joskus kehittäjänsä mukaan Wienerin prosessiksi, on idealisoitu malli luonnossa esiintyvästä vastineestaan. Se saadaan muun muassa rajaprosessina satunnaiskulku-nimisestä yksinkertaisemmasta prosessista.[3] Brownin liikkeellä on joitakin mielenkiintoisia ominaisuuksia: esimerkiksi polku kahden pisteen välillä on aina äärettömän mittainenlähde?. Tällainen fraktaalinen ominaisuus johtuu polkujen mutkikkuudesta.

Ominaisuuksia

Brownin liike B t ( ω ) {\displaystyle B_{t}(\omega )} on ajassa t {\displaystyle t} kulkeva stokastinen prosessi, jolla on muun muassa seuraavat ominaisuudet[4][5]:

  1. B t {\displaystyle B_{t}} noudattaa normaalijakaumaa tai multinormaalijakaumaa, ja erityisesti yksiulotteiselle Brownin liikkeelle pätee B t − B s ∼ N ( 0 , t − s ) {\displaystyle B_{t}-B_{s}\sim {\mathcal {N}}(0,t-s)} , kun 0 ≤ s ≤ t {\displaystyle 0\leq s\leq t} ,
  2. B 0 = 0 {\displaystyle B_{0}=0} melkein varmasti,
  3. stokastisen prosessin B t {\displaystyle B_{t}} siirtymät ovat toisistaan riippumattomia, eli satunnaismuuttujat B t 1 , B t 2 − B t 1 , … , B t k − B t k − 1 {\displaystyle B_{t_{1}},B_{t_{2}}-B_{t_{1}},\dots ,B_{t_{k}}-B_{t{k-1}}} ovat riippumattomia jokaiselle 0 ≤ t 1 < t 2 ⋯ < t k {\displaystyle 0\leq t_{1}<t_{2}\dots <t_{k}} , ja
  4. polku t → B t ( ω ) {\displaystyle t\rightarrow B_{t}(\omega )} on jatkuva melkein kaikille ω {\displaystyle \omega } .

Lisäksi B t {\displaystyle B_{t}} on F t {\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}} -mitallinen suhteessa filtraatioon F t {\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}} , kun t ≥ 0 {\displaystyle t\geq 0} . Yllä merkintä N ( μ , σ 2 ) {\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})} viittaa normaalijakaumaan odotusarvolla μ {\displaystyle \mu } ja varianssilla σ 2 . {\displaystyle \sigma ^{2}.}

Katso myös

Lähteet

  1. ↑ a b c http://www.einsteinyear.org/facts/brownian_motion/ (Arkistoitu – Internet Archive)
  2. ↑ Einstein, Albert: Über die von der molekularkinetischen Theoride der Wärme geforderte Bewegung von in Ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen. Annalen der Physik, 1905, 322. vsk, nro 8, s. 549–560. Artikkelin verkkoversio. (saksaksi)
  3. ↑ Pekka Tuominen & Pekka Norlamo: Todennäköisyyslaskenta, osa 2. Helsinki: Limes ry, 1978. ISBN 951-745-023-0.
  4. ↑ Bernt Øksendal: Stochastic Differential Equations. Universitext, 1998. doi:10.1007/978-3-662-03620-4. ISSN 0172-5939. Artikkelin verkkoversio. en-gb
  5. ↑ Richard F. Bass: Stochastic Processes. Cambridge: Cambridge University Press, 2011. ISBN 978-1-107-00800-7. Teoksen verkkoversio (viitattu 5.4.2022).

Aiheesta muualla

  • Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta Brownin liike Wikimedia Commonsissa