Imaginaariyksikkö

Matematiikassa imaginaariyksikkö mahdollistaa reaalilukujen laajentamisen kompleksilukujen joukkoon. Sen täsmällinen määritelmä riippuu tavasta, jolla laajennus tehdään. Imaginaariyksikköä merkitään i = − 1 {\displaystyle \scriptstyle i={\sqrt {-1}}} , missä siis i 2 = − 1 {\displaystyle \scriptstyle i^{2}=-1} .[1] Toisinaan imaginaariyksiköstä käytetään merkintää j ja ι.

Perussyy tähän laajennukseen on, että kaikilla polynomiyhtälöillä ei ole ratkaisua reaalilukujen joukossa. Erityisesti yhtälö x 2 + 1 = 0 {\displaystyle \scriptstyle x^{2}+1=0} on tällainen. Ajattelemalla, että kyseisellä yhtälöllä olisikin ratkaisuna imaginaariyksikkö i ja määrittelemällä i:n laskutoimitukset sopivasti, saadaankin jokaiselle reaalikertoimiselle polynomiyhtälölle f(x)=0 ratkaisu. (Katso algebrallinen sulkeuma ja algebran peruslause).

Imaginaariyksikkö on myös osa Eulerin lausetta funktioteoriassa.

Määritelmä

Määritelmän mukaan i on eräs toisen asteen yhtälön

x 2 + 1 = 0   {\displaystyle x^{2}+1=0\ }

ratkaisuista, jotka ovat

x = ± − 1 = ± i {\displaystyle x=\pm {\sqrt {-1}}=\pm i} .

Reaalilukujen laskusäännöt voidaan laajentaa imaginaarisille ja kompleksisille luvuille ajattelemalla lukua i muuttujana, kertomalla lukuja kuten polynomeja ja ottamalla huomioon, että i2=−1. Korkeammista eksponenteista imaginaariyksikön eksponentti voidaan palauttaa välille 0,...,3 kaavan in=-in-2 avulla.

Imaginaariyksikön käänteisluku on sama kuin sen vastaluku, koska

1 i = 1 i ⋅ i i = i i 2 = i − 1 = − i {\displaystyle {\frac {1}{i}}\;=\;{\frac {1}{i}}\cdot {\frac {i}{i}}\;=\;{\frac {i}{i^{2}}}\;=\;{\frac {i}{-1}}\;=\;-i} .

Lähteet

  1. ↑ Larson, Ron & Hostetler, Robert & Edwards, Bruce: College Algebra: A Graphing Approach, s. 187. Cengage Learning, 2007. ISBN 9780618851881. (englanniksi)

Kirjallisuutta

  • Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis: Complex Variables. Shaum's Outline Series. McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964). ISBN 978-0-07-161569-9, ISBN 978-0-07-161570-9 (eBook).
  • Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0.
  • Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).
  • Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II, s. 618–653. "Luku 21, Eulerin aika". Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6.