Équation de Schwinger-Dyson

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L’équation de Schwinger-Dyson, d'après Julian Schwinger et Freeman Dyson, est une équation de la théorie quantique des champs.

Dérivation

Étant donné une fonction bornée F sur les configurations du champ, alors pour tout vecteur d'état | ψ > {\displaystyle |\psi >} (qui est solution de la théorie quantique des champs), il y a :

⟨ ψ | T { δ δ ϕ F [ ϕ ] } | ψ ⟩ = − i ⟨ ψ | T { F [ ϕ ] δ δ ϕ S [ ϕ ] } | ψ ⟩ {\displaystyle \left\langle \psi \left|{\mathcal {T}}\left\{{\frac {\delta }{\delta \phi }}F[\phi ]\right\}\right|\psi \right\rangle =-i\left\langle \psi \left|{\mathcal {T}}\left\{F[\phi ]{\frac {\delta }{\delta \phi }}S[\phi ]\right\}\right|\psi \right\rangle }

avec S la fonctionnelle d'action et T {\displaystyle {\mathcal {T}}} l'opérateur d'ordonnation du temps.

D'une même manière, dans la formulation de la matrice densité, pour tout état (valide) ρ {\displaystyle \rho } , il y a :

ρ ( T { δ δ ϕ F [ ϕ ] } ) = − i ρ ( T { F [ ϕ ] δ δ ϕ S [ ϕ ] } ) {\displaystyle \rho \left({\mathcal {T}}\left\{{\frac {\delta }{\delta \phi }}F[\phi ]\right\}\right)=-i\rho \left({\mathcal {T}}\left\{F[\phi ]{\frac {\delta }{\delta \phi }}S[\phi ]\right\}\right)}

Cet ensemble infini d'équations peut être utilisé pour résoudre les fonctions de corrélation, sans utiliser une approche perturbative.

On peut également réduire l'action S en la séparant :

S [ ϕ ] = 1 2 D i j − 1 ϕ i ϕ j + S i n t [ ϕ ] {\displaystyle S[\phi ]={\frac {1}{2}}D_{ij}^{-1}\phi ^{i}\phi ^{j}+S_{int}[\phi ]}

Le premier terme est la composante quadratique et D − 1 {\displaystyle D^{-1}} un tenseur covariant symétrique et réversible (antisymétrique pour les fermions) de rang 2 dans la notation de deWitt. Les équations peuvent être réécrites ainsi :

⟨ ψ | T { F ϕ j } | ψ ⟩ = ⟨ ψ | T { i F , i D i j − F S i n t , i D i j } | ψ ⟩ {\displaystyle \langle \psi |{\mathcal {T}}\{F\phi ^{j}\}|\psi \rangle =\langle \psi |{\mathcal {T}}\{iF_{,i}D^{ij}-FS_{int,i}D^{ij}\}|\psi \rangle }

Si F est une fonctionnelle de φ, alors pour un opérateur K, F[K] est définie comme un opérateur qui remplace K par φ. Par exemple, si

F [ ϕ ] = ∂ k 1 ∂ x 1 k 1 ϕ ( x 1 ) ⋯ ∂ k n ∂ x n k n ϕ ( x n ) {\displaystyle F[\phi ]={\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}\phi (x_{1})\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}\phi (x_{n})}

et que G est une fonction de J, alors :

F [ − i δ δ J ] G [ J ] = ( − i ) n ∂ k 1 ∂ x 1 k 1 δ δ J ( x 1 ) ⋯ ∂ k n ∂ x n k n δ δ J ( x n ) G [ J ] {\displaystyle F[-i{\frac {\delta }{\delta J}}]G[J]=(-i)^{n}{\frac {\partial ^{k_{1}}}{\partial x_{1}^{k_{1}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{1})}}\cdots {\frac {\partial ^{k_{n}}}{\partial x_{n}^{k_{n}}}}{\frac {\delta }{\delta J(x_{n})}}G[J]} .

S'il y a une fonction analytique Z (appelée fonctionnelle génératrice) de J (appelée champ source) satisfaisant l'équation :

δ n Z δ J ( x 1 ) ⋯ δ J ( x n ) [ 0 ] = i n Z [ 0 ] ⟨ ϕ ( x 1 ) ⋯ ϕ ( x n ) ⟩ {\displaystyle {\frac {\delta ^{n}Z}{\delta J(x_{1})\cdots \delta J(x_{n})}}[0]=i^{n}Z[0]\langle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\rangle } ,

alors l'équation de Schwinger-Dyson pour la génératrice Z est :

δ S δ ϕ ( x ) [ − i δ δ J ] Z [ J ] + J ( x ) Z [ J ] = 0 {\displaystyle {\frac {\delta S}{\delta \phi (x)}}\left[-i{\frac {\delta }{\delta J}}\right]Z[J]+J(x)Z[J]=0}

En développant cette équation en série de Taylor pour J proche de 0, le jeu entier des équations de Schwinger-Dyson est obtenu.

Notes et références

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Schwinger–Dyson equation » (voir la liste des auteurs).
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