Pseudo-démonstration d'égalité entre nombres

Exemple

Étape 1 :

• Soit a et b deux réels non nuls, on pose ${\displaystyle a=b}$.
• On multiplie chaque membre par ${\displaystyle a}$ :${\displaystyle a^{2}=a\times b}$.
• On soustrait ${\displaystyle b^{2}}$ :${\displaystyle a^{2}-b^{2}=a\times b-b^{2}}$.
• On factorise chaque membre (dans le premier on utilise une identité remarquable) :${\displaystyle (a-b)\times (a+b)=b\times (a-b)}$.

Étape 2 :

• On divise par ${\displaystyle (a-b)}$ :${\displaystyle a+b=b}$.
• Comme ${\displaystyle a=b}$, on remplace ${\displaystyle a}$ par ${\displaystyle b}$ :${\displaystyle b+b=b}$,
• soit ${\displaystyle 2\times b=1\times b}$.
• On divise par ${\displaystyle b}$ :${\displaystyle 2=1}$.

L'erreur est commise au moment où l'on effectue la division par ${\displaystyle (a-b)}$, car comme ${\displaystyle a=b}$ alors ${\displaystyle a-b=0}$ donc on divise par 0 ce qui est impossible.

 

Variante sans identité remarquable

• On commence avec la proposition suivante :${\displaystyle 2=1+1}$
• On multiplie chaque membre par ${\displaystyle (2-1)}$ :${\displaystyle 2(2-1)=(1+1)(2-1)}$.
• On développe :${\displaystyle 2\times 2-2\times 1=2\times 1+2\times 1-1\times 1-1\times 1}$.
• On soustrait ${\displaystyle 2\times 1}$ à chaque membre : ${\displaystyle 2\times 2-2\times 1-2\times 1=2\times 1-1\times 1-1\times 1}$.
• On factorise :${\displaystyle 2\times (2-1-1)=1\times (2-1-1)}$.
• On peut simplifier et l'on obtient :${\displaystyle 2=1}$.
• Il suffit d'ajouter ${\displaystyle 1}$ pour finalement avoir :${\displaystyle 3=1+1}$.

Solution : Au moment de simplifier par ${\displaystyle (2-1-1)}$, on fait :${\displaystyle {\frac {2\times (2-1-1)}{(2-1-1)}}={\frac {1\times (2-1-1)}{(2-1-1)}}}$ donc on divise par 2-1-1 c.-à-d. par 0.

 

Exemple

Étape 1 :

Considérons l'équation :

${\displaystyle x^{2}+x+1=0}$.

Ses solutions sont également celles (à l'exception de zéro) de :

${\displaystyle x(x^{2}+x+1)=0\Leftrightarrow x^{3}+x^{2}+x=0\Leftrightarrow x^{3}=-x^{2}-x}$ .

Or d'après l'équation initiale :

${\displaystyle x^{2}+x+1=0\Leftrightarrow x^{2}=-x-1}$

donc :

${\displaystyle x^{3}=-(-x-1)-x=1}$.

Étape 2 : La seule racine réelle possible est 1.

Étape 3 : En remplaçant x par 1 dans l'équation initiale, on obtient l'égalité ${\displaystyle 3=0}$.

 

Exemple

Étape 1 :

Considérons l'égalité ${\displaystyle -1=-1}$, qui peut s'écrire sous forme de quotients :

${\displaystyle {\frac {1}{-1}}={\frac {-1}{1}}}$.

Or ${\displaystyle -1=i^{2}}$ (voir nombre imaginaire), d'où

${\displaystyle {\frac {1}{i^{2}}}={\frac {i^{2}}{1}}}$.

Étape 2 :

On prend la racine carrée des deux côtés, ce qui donne :

${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{i^{2}}}}={\sqrt {\frac {i^{2}}{1}}}\Leftrightarrow {\frac {\sqrt {1}}{\sqrt {i^{2}}}}={\frac {\sqrt {i^{2}}}{\sqrt {1}}}\Leftrightarrow {\frac {1}{i}}={\frac {i}{1}}}$.

En multipliant par i de part et d'autre, on obtient

${\displaystyle 1=i^{2}}$.

Et puisque ${\displaystyle i^{2}=-1}$, nous avons alors

${\displaystyle 1=-1}$.

 

Exemple annexe (via un logarithme)

${\displaystyle \ln(-1)+\ln(-1)=\ln((-1)^{2})=\ln(1)=0}$

Ainsi,

${\displaystyle \ln(-1)=\ln(i^{2})=2\cdot \ln(i)=0\Rightarrow e^{\ln(i)}=e^{0}(=1)}$

Et comme l'exponentielle est l'application réciproque du logarithme népérien :

${\displaystyle i=1}$

 

Variante via dérivation

La dérivation va s'effectuer différemment suivant le membre de l'égalité, à gauche il sera question d'une dérivation correcte, et à droite une dérivation sans tenir compte du fait que la variable x est aussi le cardinal de l'ensemble des termes.

Étape 1 : Soit ${\displaystyle x}$ un entier. Par définition de la fonction carrée :

${\displaystyle x^{2}=x+\cdots +x}$ (${\displaystyle x}$ termes)

Étape 2 : En dérivant par rapport à ${\displaystyle x}$ :

${\displaystyle 2x=1+\cdots +1}$ (${\displaystyle x}$ termes),

Étape 3 : d'où en simplifiant par ${\displaystyle x}$ :

${\displaystyle 2=1}$

 

Variante via une suite arithmétique

Cette variante joue sur la somme des ${\displaystyle n}$ premiers termes de la suite arithmétique des entiers.

Étape 1 :

La somme des ${\displaystyle n}$ premiers entiers s'écrit :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad 1+2+3+\dots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}$

Cela est vrai également au rang ${\displaystyle n-1}$ :

${\displaystyle \forall (n-1)\in \mathbb {N} \quad 1+2+3+\dots +n-1={\frac {(n-1)n}{2}}}$

D'où en ajoutant ${\displaystyle 1}$ dans chacun des membres :

${\displaystyle \forall (n-1)\in \mathbb {N} \quad 1+2+3+\dots +n-1+1={\frac {(n-1)n}{2}}+1}$

Étape 2 :

Cette égalité peut aussi s'écrire :

${\displaystyle \forall (n-1)\in \mathbb {N} \quad 1+2+3+\dots +n={\frac {(n-1)n+2}{2}}}$.

D'après l'égalité au rang ${\displaystyle n}$, on a donc :

${\displaystyle \forall (n-1)\in \mathbb {N} \quad \left[{\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {(n-1)n+2}{2}}\Leftrightarrow n(n+1)=(n-1)n+2\right]}$

d'où :

${\displaystyle \forall (n-1)\in \mathbb {N} \quad \left[n^{2}+n=n^{2}-n+2\Leftrightarrow 2n=2\right]}$

Étape 3 :

Finalement :

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad n=1}$.

L'erreur vient du fait que l'on confond les sommes ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k}$ et ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}k+1}$.

 

Exemple

Étape 1 :

Considérons l'intégrale :

${\displaystyle \int _{-1}^{1}t^{2}\;{\rm {d}}t}$.

Par intégration en tant que monôme du second degré :

${\displaystyle \int _{-1}^{1}t^{2}\;{\rm {d}}t=\left[{\frac {t^{3}}{3}}\right]_{-1}^{1}={\frac {2}{3}}}$.

Étape 2 :

Effectuons le changement de variable de classe ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$ (mais qui n'est pas un ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{1}}$-difféomorphisme) :

${\displaystyle u=t^{2}\Rightarrow {\rm {d}}u=2t\,{\rm {d}}t}$.

Ainsi :

${\displaystyle {\begin{cases}t=-1\Rightarrow u=1\\t=1\Rightarrow u=1\end{cases}}}$

d'où :

${\displaystyle \int _{-1}^{1}t^{2}{\rm {d}}t={\frac {1}{2}}\int _{1}^{1}{\sqrt {u}}{\rm {d}}u=0}$.

Étape 3 :

Des deux calculs de l'intégrale on en déduit :

${\displaystyle {\frac {2}{3}}=0}$