Théorème de Monge

Pour l’article homonyme, voir Théorème de Monge (géométrie élémentaire).

En analyse mathématique, le théorème de Monge sert à étudier le comportement d'une fonction de deux variables au voisinage d'un point critique.

Énoncé

Soit une fonction ${\displaystyle f}$ à deux variables ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$. Soit un point critique ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$. On a en ce point les dérivées premières :

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y_{0})=p=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y_{0})=q=0}$

On pose pour les dérivées secondes :

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x_{0},y_{0})=r}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}(x_{0},y_{0})=s}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(x_{0},y_{0})=t}$

Les notations ${\displaystyle p,\,q,\,r,\,s,\,t}$ sont appelées « notations de Monge ».

Le calcul du déterminant ${\displaystyle \Delta =rt-s^{2}}$ permet de distinguer les cas suivants :

• si ${\displaystyle \Delta >0}$ le point critique est un extrémum local :
  • si ${\displaystyle r>0}$, c'est un minimum ;
  • si ${\displaystyle r<0}$, c'est un maximum ;
• si ${\displaystyle \Delta <0}$, on a un point selle – ou point col ;
• si ${\displaystyle \Delta =0}$, on ne peut rien conclure et il faut mener une étude locale.

Exemples

Coniques

Pour un paraboloïde ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}$, le seul point critique est en ${\displaystyle (0;0)}$. On a :

${\displaystyle r=2,s=0,t=2\Leftrightarrow \Delta =4>0}$

C'est donc un minimum (global).

Pour un hyperboloïde ${\displaystyle f(x,y)=x^{2}-y^{2}}$, le seul point critique est aussi en ${\displaystyle (0;0)}$. On a :

${\displaystyle r=2,s=0,t=-2\Leftrightarrow \Delta =-4<0}$

C'est donc un point-selle.

Surface cubique

Pour ${\displaystyle f(x,y)=2x^{3}-y^{4}-3x^{2}}$, on a deux points critiques en ${\displaystyle (0;0)}$ et ${\displaystyle (1;0)}$, mais :

${\displaystyle r=\pm 6,s=0,t=0\Leftrightarrow \Delta =0}$

Il faut donc mener une étude locale de la fonction pour conclure.

Notes et références

• Olivier Rodot et Jean-Étienne Rombaldi, Formulaire de maths : Licence, Prépas, Capes, De Boeck Supérieur, 2022, 448 p. (ISBN 9782807341425, lire en ligne), p. 214.
• Jean-Pierre Ramis, André Warusfel, François Moulin, Xavier Buff, Emmanuel Halberstadt, Jacques Sauloy et Monique Ramis, Mathématiques : Tout-en-un pour la Licence 2, Dunod, 2023, 4^e éd., 1104 p. (ISBN 9782100859474, lire en ligne), p. 821-822.
• Bernard Joppin, Analyse MP, Éditions Bréal, coll. « Les nouveaux précis Bréal » (ISBN 9782749522739, lire en ligne), p. 468.

Articles connexes

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