Equazione di Ramanujan-Nagell

In teoria dei numeri, l'equazione di Ramanujan-Nagell è la seguente equazione diofantea esponenziale:

2 n − 7 = x 2 {\displaystyle 2^{n}-7=x^{2}}

Si hanno soluzioni per questa equazione solo per

n = 3, 4, 5, 7 e 15 [1].

che corrispondono a valori della x pari a 1, 3, 5, 11 e 181[2]. Ciò fu congetturato da Srinivasa Ramanujan e dimostrato da Trygve Nagell[3].

Generalizzazioni

L'equazione

2 n = x 2 + 7 y 2 {\displaystyle 2^{n}=x^{2}+7y^{2}}

ammette una soluzione unica per x e y interi positivi dispari ed n ≥ 3. Questa equazione fu presa in considerazione da Eulero, che non la pubblicò.[4]

Bugeaud, Mignotte e Siksek[5] hanno risolto completamente l'equazione:

x 2 + 7 = y n {\displaystyle x^{2}+7=y^{n}}

Herrmann, Luca e Walsh[6] hanno risolto:

x 2 + 7 y 4 = 2 n 1 7 n 2 11 n 3 {\displaystyle x^{2}+7y^{4}=2^{n_{1}}7^{n_{2}}11^{n_{3}}}

Altri autori, tra cui Beukers[7], hanno studiato l'equazione:

x 2 − D = 2 n {\displaystyle x^{2}-D=2^{n}}

con D {\displaystyle D} intero. Apéry[8] dimostrò che, se D < 0 {\displaystyle D<0} e D ≠ − 7 {\displaystyle D\neq -7} , vi sono al più due soluzioni. Browkin e Schinzel[9] congetturarono che il numero di soluzioni è pari a due se solo se D = − 23 {\displaystyle D=-23} oppure D = 1 − 2 k {\displaystyle D=1-2^{k}} per qualche k ≥ 3 {\displaystyle k\geq 3} . Schinzel[10] dimostrò che, se D {\displaystyle D} non è della forma 1 − 2 k {\displaystyle 1-2^{k}} , l'equazione ha al massimo una sola soluzione con n > 80 {\displaystyle n>80} . La congettura completa di Browkin e Schinzel fu dimostrata da Beukers.

Beukers ha anche considerato[11] l'ulteriore generalizzazione

x 2 − D = p n {\displaystyle x^{2}-D=p^{n}}

con D > 0 {\displaystyle D>0} e p {\displaystyle p} primo dispari non divisore di D {\displaystyle D} , dimostrando che vi sono al più 4 soluzioni in interi positivi x {\displaystyle x} ed n {\displaystyle n} .

Note

  1. ^ (EN) Sequenza A060728, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  2. ^ (EN) Sequenza A038198, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
  3. ^ T. Nagell, The diophantine equation x2 + 7 = 2n, Arkiv matematik 4 (1960), 185–187.
  4. ^ A. Engel, Problem-Solving Strategies, Springer, New York, 1999, ISBN 0-387-98219-1
  5. ^ Y. Bugeaud, M. Mignotte and S. Siksek, Classical and modular approaches to exponential Diophantine equations II: The Lebesgue-Nagell equation, Compositio Mathematica 142 (2006), 31–62
  6. ^ E. Herrmann, F. Luca and P. G. Walsh, A note on the Ramanujan-Nagell equation, Publ. Math. Debrecen 64 (2004), no. 1-2, 21–30.
  7. ^ F. Beukers, On the generalized Ramanujan-Nagell equation I, Acta Arith. 38 (1980), 389–410. pdf
  8. ^ R. Apéry, Sur une équation diophantienne, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A 251 (1960), 1263-1264.
  9. ^ J. Browkin, A. Schinzel, On the equation 2n-D=y2, Bull. Acad. Polon. Sci. Math. Astronom. Phys. 8 (1960), pp.311-318.
  10. ^ A. Schinzel, On two theorems of Gelfond and some of their applications, Acta Arith. 13 (1967), 177-236.
  11. ^ F. Beukers, On the generalized Ramanujan-Nagell equation II, Acta Arith. 39 (1981), 113–123. pdf

Bibliografia

  • M. A. Bennett, M. Filaseta and O. Trifonov, Yet another generalization of the Ramanujan-Nagell equation, 2007. pdf

Collegamenti esterni

  • (EN) Eric W. Weisstein, Equazione di Ramanujan-Nagell, su MathWorld, Wolfram Research. Modifica su Wikidata
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