Gruppo di Galois assoluto
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Il gruppo di Galois assoluto di un campo è per definizione il gruppo di Galois di su , dove denota la chiusura separabile di . In alternativa può essere definito come il gruppo di tutti gli automorfismi di che fissano . Si noti che se è un campo perfetto (come nel caso in cui ha caratteristica zero o è un campo finito), allora coincide con la chiusura algebrica di .
Esempi
- Il gruppo di Galois assoluto di un campo algebricamente chiuso è banale.
- Il gruppo di Galois assoluto del campo dei numeri reali è un gruppo ciclico di due elementi (il coniugio complesso e l'identità), poiché è la chiusura separabile di e
- Il gruppo di Galois assoluto di un campo finito è isomorfo al gruppo
- (Per la notazione vedere limite inverso.)
- L'automorfismo di Frobenius è un generatore (topologico) canonico di (si ricordi che per ogni , dove è il numero di elementi di ).
- Il gruppo di Galois assoluto del campo delle funziono razionali con coefficienti complessi è libero (come un gruppo profinito). Questo risultato è dovuto a Adrien Douady e ha le sue origini nel teorema di esistenza di Riemann.[1]
- Più in generale, sia un campo algebricamente chiuso e una variabile. Il gruppo di Galois assoluto di è libero di rango uguale alla cardinalità di Questo risultato è dovuto a David Harbater e Florian Pop, e fu dimostrato nuovamente in seguito da Dan Haran e Moshe Jarden usando metodi algebrici.[2][3][4]
- Sia un'estensione finita del campo dei numeri p-adici Per il suo gruppo di Galois assoluto è generato da elementi e ha una descrizione esplicita in termni di generatori e relazioni. Questo è un risultato di Uwe Jannsen e Kay Wingberg.[5][6] Alcuni risultati sono noti per il caso ma la struttura per non è nota.[7]
- Un altro caso in cui il gruppo di Galois assoluto è stato determinato è per il massimo sottocampo totalmente reale del campo dei numeri algebrici.[8]
Note
- ^ Douady, 1964.
- ^ Harbater, 1995.
- ^ Pop, 1995.
- ^ Haran Jarden, 2000.
- ^ Jannsen Wingberg, 1982.
- ^ Neukirch Schmidt Wingberg, 2000
- ^ Neukirch Schmidt Wingberg, 2000
- ^ qtr (PDF), su math.uci.edu. URL consultato il 4 settembre 2019.
Bibliografia
- (EN) Jürgen Neukirch, Alexander Schmidt e Kay Wingberg, Cohomology of Number Fields, 2ª ed., Springer-Verlag, 2008, ISBN 3-540-37888-X.
- Adrien Douady, Détermination d'un groupe de Galois, in Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, vol. 258, 1964, pp. 5305–5308.
- Michael D. Fried e Moshe Jarden, Field arithmetic, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, vol. 11, 3rd, Springer-Verlag, 2008, ISBN 978-3-540-77269-9, Zbl 1145.12001.
- Dan Haran e Moshe Jarden, The absolute Galois group of C(x), in Pacific Journal of Mathematics, vol. 196, n. 2, 2000, pp. 445–459, DOI:10.2140/pjm.2000.196.445.
- David Harbater, Fundamental groups and embedding problems in characteristic p, in Recent developments in the inverse Galois problem, Contemporary Mathematics, vol. 186, Providence, RI, American Mathematical Society, pp. 353–369.
- Uwe Jannsen e Kay Wingberg, Die Struktur der absoluten Galoisgruppe -adischer Zahlkörper, in Inventiones Mathematicae, vol. 70, 1982, pp. 71–78, Bibcode:1982InMat..70...71J, DOI:10.1007/bf01393199.
- Florian Pop, Étale Galois covers of affine smooth curves. The geometric case of a conjecture of Shafarevich. On Abhyankar's conjecture, in Inventiones Mathematicae, vol. 120, n. 3, 1995, pp. 555–578, Bibcode:1995InMat.120..555P, DOI:10.1007/bf01241142.
Collegamenti esterni
- (EN) Absolute Galois Group, su nLab. URL consultato il 28 novembre 2019.
- rappresentazione galoisiana, in Enciclopedia della scienza e della tecnica, Roma, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2007-2008.
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