Principio di minima azione

Il principio di minima azione (o più generalmente principio di azione stazionaria) è un principio variazionale a partire dal quale si determina l'equazione del moto di un sistema dinamico. Più precisamente, se un sistema è olonomo e monogenico allora è possibile derivare dal principio le equazioni di Lagrange.[1]

Il nome deriva storicamente dall'osservazione che in meccanica newtoniana nei fenomeni della natura l'azione viene sempre minimizzata, anche se la condizione di punto stazionario è sufficiente.

Esempi classici

Tra gli esempi più noti vi sono:

  • il principio di Maupertuis, che impone la condizione di minimo all'integrale dell'azione ridotta sulla traiettoria reale.
  • il principio variazionale di Hamilton, che riguarda la stazionarietà dell'integrale d'azione nella traiettoria reale del moto.

Formulazione moderna

Detta S {\displaystyle {\mathcal {S}}} l'azione, il principio di minima azione stabilisce che ad una leggera perturbazione della reale evoluzione del sistema tra due istanti di tempo t 1 {\displaystyle t_{1}} e t 2 {\displaystyle t_{2}} corrisponde un cambiamento al secondo ordine dell'azione S {\displaystyle {\mathcal {S}}} , ovvero nell'intervallo di tempo considerato si ha un punto stazionario (solitamente un punto di minimo):[2][3][4]

δ S = 0 {\displaystyle \delta {\mathcal {S}}=0}

dove δ {\displaystyle \delta } indica un "piccolo" cambiamento. Esplicitamente:

δ ∫ t 1 t 2 L ( q ˙ , q , t ) d t = 0 {\displaystyle \delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}({\dot {\mathbf {q} }},\mathbf {q} ,t)\;\mathrm {d} t=0}

con L {\displaystyle {\mathcal {L}}} la lagrangiana.

Note

  1. ^ Herbert Goldstein, Charles P., Jr. Poole e John L. Safko, Classical Mechanics, 3ª ed., San Francisco, CA, Addison Wesley, 2002, pp. 18–21,45, ISBN 0-201-65702-3.
  2. ^ Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), R.G. Lerner, G.L. Trigg, VHC publishers, 1991, ISBN (Verlagsgesellschaft) 3-527-26954-1, ISBN (VHC Inc.) 0-89573-752-3
  3. ^ McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2nd Edition), C.B. Parker, 1994, ISBN 0-07-051400-3
  4. ^ Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 1998, ISBN 978-0-521-57572-0

Bibliografia

  • (EN) T.W.B. Kibble, Classical mechanics, European Physics Series, McGraw-Hill (UK), 1973, ISBN 0-07-084018-0

Voci correlate

Collegamenti esterni

  • (EN) Daniel D. Baumann - Principle of Least Action (PDF), su damtp.cam.ac.uk. URL consultato il 23 settembre 2015 (archiviato dall'url originale il 10 ottobre 2015).
  • (EN) Feynman - Lectures On Physics - Chapter 2 (PDF), su yima.csl.illinois.edu. URL consultato il 18 agosto 2014 (archiviato dall'url originale il 31 gennaio 2015).
  • (EN) Interactive explanation of the principle of least action, su eftaylor.com.
  • (EN) Interactive applet to construct trajectories using principle of least action, su eftaylor.com.
  • (EN) John C. Baez - Lectures on Classical Mechanics (PDF), su math.ucr.edu.
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