Teorema di Banach-Caccioppoli

In matematica, il teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli, o teorema delle contrazioni, è un importante strumento nella teoria degli spazi metrici; garantisce l'esistenza e l'unicità di un punto fisso per determinate mappe di spazi metrici su sé stessi, e la sua dimostrazione fornisce un metodo costruttivo per trovarli. Il teorema prende il nome da Stefan Banach (1892-1945) e da Renato Caccioppoli (1904-1959), ed è stato formulato la prima volta da Banach nel 1922. Caccioppoli giungerà autonomamente a questo risultato nel 1931.

Lo stesso argomento in dettaglio: Contrazione (spazio metrico) e Funzione contrattiva.

Sia ${\displaystyle (X,d)}$ uno spazio metrico. Si definisce contrazione una funzione ${\displaystyle f\colon X\to X}$ tale che esiste una costante reale ${\displaystyle 0\leq k<1}$ che soddisfa la seguente condizione:

${\displaystyle d(f(x),f(y))\leq k\,d(x,y),\quad \forall x,y\in X.}$

Il più piccolo valore di ${\displaystyle k}$ per cui vale tale condizione è detto costante di Lipschitz di ${\displaystyle f}$.

Sia ${\displaystyle (X,d)}$ uno spazio metrico completo non vuoto. Sia ${\displaystyle T\colon X\to X}$ una contrazione su ${\displaystyle X}$. Allora la mappa ${\displaystyle T}$ ammette uno e un solo punto fisso:^[1]

${\displaystyle x^{*}=T(x^{*}),\quad x^{*}\in X.}$

La dimostrazione si articola in due parti. Iniziamo ad occuparci della esistenza, poi ricaveremo l'unicità.

Sia definita una successione ricorrente (o successione delle iterate) come segue:

${\displaystyle x_{1}=T(x_{0}),\quad x_{2}=T(x_{1}),\quad \ldots ,\quad x_{n}=T(x_{n-1}).}$

Sfruttiamo la metrica ${\displaystyle d}$ e la proprietà di contrazione per valutare la distanza tra due punti successivi ${\displaystyle x_{n},x_{n+1}}$:

${\displaystyle d(x_{n},x_{n+1})=d(T(x_{n-1}),T(x_{n}))\leq k\;d(x_{n-1},x_{n})=k\;d(T(x_{n-2}),T(x_{n-1}))\leq k^{2}\;d(x_{n-2},x_{n-1})\;=k^{2}\;d(T(x_{n-3}),T(x_{n-2}))\leq \ldots \leq k^{n}\;d(x_{0},x_{1}).}$

Prendiamo due numeri ${\displaystyle m\,,n\in \mathbb {N} }$ tali che ${\displaystyle m\leq n}$: attraverso la disuguaglianza triangolare e la proprietà di cui sopra

${\displaystyle d(x_{n},x_{m})\leq d(x_{n},x_{n-1})+d(x_{n-1},x_{m})\leq \sum _{i=m}^{n-1}d(x_{i},x_{i+1})\leq d(x_{0},x_{1})\;\sum _{i=m}^{n-1}k^{i}=}$

${\displaystyle =d(x_{0},x_{1})\;\sum _{i=0}^{n-m-1}k^{i+m}=k^{m}\;d(x_{0},x_{1})\;\sum _{i=0}^{n-m-1}k^{i}.}$

Per ${\displaystyle n\to \infty }$, l'ultima è una serie geometrica che converge perché il termine generale è compreso tra ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle 1}$, quindi

${\displaystyle d(x_{n},x_{m})\leq d(x_{0},x_{1})\;{\frac {k^{n}}{1-k}}\;\rightarrow \;0\qquad \mathrm {per} \qquad n\rightarrow \infty }$

ottenendo il criterio di Cauchy per le successioni. Passiamo ora dalla completezza dello spazio ${\displaystyle X}$, la quale garantisce l'esistenza di

${\displaystyle x^{*}=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}.}$

Poiché la ${\displaystyle T}$ è un'applicazione continua, vale

${\displaystyle T(x^{*})=\lim _{n\rightarrow \infty }T(x_{n})=\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n+1}=x^{*}.}$

L'unicità si dimostra per assurdo: poniamo che esista un secondo punto ${\displaystyle y*}$ tale che ${\displaystyle T(y^{*})=y^{*}}$

${\displaystyle d(x^{*},y^{*})\leq d(T(x^{*}),T(y^{*}))\leq k\;d(x^{*},y^{*})\quad \Rightarrow \quad k\geq 1}$

che contraddice le ipotesi di partenza.

Il valore minimo di ${\displaystyle k}$ è talvolta chiamato costante di Lipschitz.

Si osservi che la condizione ${\displaystyle d(T(x),T(y))<d(x,y)}$ per ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ distinti (soddisfatta da funzioni contrattive) non è in generale sufficiente ad assicurare l'esistenza di un punto fisso, come è mostrato dalla mappa ${\displaystyle T\colon [1,+\infty )\to [1,+\infty )}$ con ${\displaystyle T(x)=x+1/x}$, che non ha punti fissi. Tuttavia, se lo spazio ${\displaystyle X}$ è compatto, allora questa assunzione più debole implica tutte le conclusioni del teorema.

Quando si usa il teorema in pratica, la parte più difficile è in genere definire ${\displaystyle X}$ opportunamente in modo che ${\displaystyle T}$ porti elementi da ${\displaystyle X}$ a ${\displaystyle X}$, cioè che ${\displaystyle T(x)}$ sia sempre un elemento di ${\displaystyle X}$.

Sotto le ipotesi su ${\displaystyle X}$ del teorema precedente, se ${\displaystyle T\colon X\to X}$ è una funzione tale che, per qualche ${\displaystyle p}$ numero naturale l'iterata ${\displaystyle T^{p}}$ è una contrazione, allora ${\displaystyle T}$ ammette un unico punto fisso.

Supponiamo che ${\displaystyle x}$ sia punto fisso di ${\displaystyle T^{p}}$. Allora ${\displaystyle T^{p}(x)=x}$ da cui, applicando T da entrambi i lati, si ha ${\displaystyle T(T^{p}(x))=T(x)}$ e quindi ${\displaystyle T^{p}(T(x))=T(x)}$: anche ${\displaystyle T(x)}$ è punto fisso per ${\displaystyle T^{p}}$. Ma, per il teorema precedente, ${\displaystyle T^{p}}$ ha un unico punto fisso e quindi deve essere ${\displaystyle T(x)=x}$.

L'applicazione standard è nella dimostrazione del teorema di Picard-Lindelöf riguardo all'esistenza e all'unicità di soluzioni di determinate equazioni differenziali ordinarie. La soluzione cercata è espressa come un punto fisso di un opportuno operatore integrale che trasforma funzioni continue in funzioni continue. Il teorema del punto fisso di Banach-Caccioppoli è quindi usato per mostrare che questo operatore integrale ha un unico punto fisso.

Un'altra applicazione è una dimostrazione del teorema della funzione implicita in spazi di Banach.

Esistono molti teoremi inversi del teorema di punto fisso di Banach-Caccioppoli. Il seguente è dovuto a Czeslaw Bessaga, nel 1959:

Sia ${\displaystyle f\colon X\to X}$ una mappa di un insieme tale che ogni iterata ${\displaystyle f_{n}}$ ha un unico punto fisso. Sia ${\displaystyle q}$ un numero reale, ${\displaystyle 0<q<1}$. Allora esiste una metrica completa su ${\displaystyle X}$ tale che ${\displaystyle f}$ sia una contrazione, e ${\displaystyle q}$ è la costante di contrazione.

• Walter Rudin, Principi di analisi matematica, Milano, McGraw-Hill, 1991, ISBN 88-386-0647-1, SBN IT\ICCU\MIL\0073523.
• (EN) Vasile I. Istratescu, Chapter 7, in Fixed Point Theory, An Introduction, Dordrecht, D.Reidel, 1981, ISBN 90-277-1224-7, SBN IT\ICCU\MIL\0073359.
• (EN) Andrzej Granas e James Dugundji, Fixed Point Theory, New York, Springer, 2003, ISBN 0-387-00173-5, SBN IT\ICCU\UBO\2297643.
• (EN) William A. Kirk e Brailey Sims, Handbook of Metric Fixed Point Theory, Dordrecht, Kluwer Academic, 2001, ISBN 0-7923-7073-2.

• Contrazione (spazio metrico)
• Funzione contrattiva
• Teorema di punto fisso
• Punto fisso
• Teorema del punto fisso di Brouwer

• Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su teorema di Banach-Caccioppoli

• Banach-Caccioppoli, teorema di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Articolo su PlanethMath, su planetmath.org.

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