Varietà invariante

In matematica, in particolare nell'analisi dei sistemi dinamici, la varietà invariante è una varietà topologica invariante rispetto all'azione di un sistema dinamico; ad esempio sono invarianti la varietà centrale, la varietà stabile e instabile.

Le varietà invarianti sono spesso definite a partire da "perturbazioni" di un sottospazio invariante al quale sono tangenti in prossimità di un punto di equilibrio.

Definizione

Dato un generico sistema dinamico, descritto dall'equazione differenziale ordinaria:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x)\qquad x\in \mathbb {R} ^{n}}$

sia ${\displaystyle x(t)=\phi _{t}(x_{0})}$ il relativo flusso, soluzione dell'equazione con la condizione iniziale ${\displaystyle x(0)=x_{0}}$. Un insieme ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{n}}$ è detto insieme invariante per l'equazione differenziale se, per ogni ${\displaystyle x_{0}\in S}$, la soluzione ${\displaystyle t\mapsto \phi _{t}(x_{0})}$, definita sul suo massimo intervallo di esistenza, ha immagine in ${\displaystyle S}$. In alternativa, l'orbita passante per ogni ${\displaystyle x_{0}\in S}$ è in ${\displaystyle S}$. Se l'insieme ${\displaystyle S}$ è una varietà, viene chiamato varietà invariante.

Bibliografia

• (EN) Rasband, S. N. "Invariant Manifolds." §5.2 in Chaotic Dynamics of Nonlinear Systems New York: Wiley, pp. 89-92, 1990.
• (EN) Wiggins, S. "Invariant Manifolds: Linear and Nonlinear Systems." §1.1C in Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. New York: Springer-Verlag, pp. 14-25, 1990.
• (EN) C. Chicone. Ordinary Differential Equations with Applications, volume 34 of "Texts in Applied Mathematics". Springer, 2006

Voci correlate

• Sottospazio invariante
• Stabilità interna
• Teorema di LaSalle
• Varietà centrale
• Varietà stabile

Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Varietà invariante, su MathWorld, Wolfram Research.

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