オストロフスキーの定理

数論において、オストロフスキーの定理 (オストロフスキーのていり、Ostrowski's theorem) とは、有理数体 Q 上の全ての非自明な付値は、通常の実数の絶対値か、または、p-進付値に同値であるという定理である^[1]。1916年にアレクサンドル・オストロフスキー（英語版） (Alexander Ostrowski) によって証明された。

定義

体 K 上の 2つの絶対値（英語版）（付値） $|\cdot |$ と $|\cdot |_{\ast }$ は、ある実数 c > 0 が存在して

全ての

x\in K

に対し、

|x|_{\ast }=|x|^{c}

となるとき、同値であると定義される。

任意の体 K 上の自明な絶対値は、

|x|_{0}:={\begin{cases}0,&{\text{if }}x=0\\1,&{\text{if }}x\neq 0\end{cases}}

と定義される。

有理数体 Q 上の実絶対値は、実数上の標準的絶対値で、

|x|_{\infty }:={\begin{cases}x,&{\text{if }}x\geq 0\\-x,&{\text{if }}x<0\end{cases}}

と定義される。添え字は無限大の代わりに 1 とすることもある。

素数 p に対し、Q 上の p-進絶対値は、次のように定義される。0 ではない任意の有理数 x は、どの2つも互いに素な整数 a, b, p および整数 n により一意的に $x=p^{n}{\dfrac {a}{b}}$ と書くことができる。そこで

|x|_{p}:={\begin{cases}0,&{\text{if }}x=0\\p^{-n},&{\text{if }}x\neq 0\end{cases}}

と定義する。

他のオストロフスキーの定理

他にもオストロフスキーの定理と呼ばれる定理が存在し、それは「アルキメデス付値に関して完備な任意の体は、（代数的にも位相的にも）実数体か複素数体に同型である」ということを主張する^[2]。

脚注

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^ Koblitz, Neal (1984). P-adic numbers, p-adic analysis, and zeta-functions (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. p. 3. ISBN 978-0-387-96017-3. http://www.springer.com/mathematics/numbers/book/978-0-387-96017-3 2012年8月24日閲覧. "Theorem 1 (Ostrowski). Every nontrivial norm ‖ ‖ on ℚ is equivalent to | |_p for some prime p or for p = ∞."
^ Cassels (1986) p. 33

参考文献

Cassels, J. W. S. (1986). Local Fields. London Mathematical Society Student Texts. 3. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5. Zbl 0595.12006
Janusz, Gerald J. (1996, 1997). Algebraic Number Fields (2nd ed.). American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0429-4
Jacobson, Nathan (1989). Basic algebra II (2nd ed.). W H Freeman. ISBN 0-7167-1933-9
Ostrowski, Alexander (1916). “Über einige Lösungen der Funktionalgleichung φ(x)·φ(y)=φ(xy)”. Acta Mathematica 41 (1): 271–284. doi:10.1007/BF02422947. ISSN 0001-5962. http://www.springerlink.com/content/96042g7576003r71/.