集合族の一種である単調族(たんちょうぞく、英: monotone class)は、測度論においてより複雑な集合族を構成するために用いられる。
定義
集合 X の部分集合族
が単調であるとは、
の単調集合列(ドイツ語版)(単調増加または単調減少な列)の極限がまた
に属するときに言う。記号で書けば、
![{\displaystyle (A_{n})_{n\in \mathbb {N} }{\text{ s.t. }}A_{1}\subset A_{2}\subset \dotsb \in {\mathcal {M}}\implies \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {M}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/935b3a2379717841ecd247c0c2cc3e77bd99e45c)
![{\displaystyle (B_{n})_{n\in \mathbb {N} }{\text{ s.t. }}B_{1}\supset B_{2}\supset \dotsb \in {\mathcal {M}}\implies \bigcap _{i=1}^{\infty }B_{i}\in {\mathcal {M}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0196fb12ca17b836ffe02cf7cd5747091466a92)
性質
複数の単調族の交わりはまた単調族を成す。ゆえに任意の集合族 K の生成する単調族が
![{\displaystyle {\mathcal {M}}_{K}:=\bigcap _{{\mathcal {M}}{\text{: Monotone}} \atop K\subset {\mathcal {M}}}{\mathcal {M}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37e8786c27711a23ca764cb3299f5d01207135c9)
と定義できる。これは閉包作用素(英語版)と解釈できる。
測度論における集合族の関係図 他の集合族との関係
- 単調族を成す集合環はσ-集合環である。
- 集合 X の部分集合からなる単調族が、全体集合 X を含み、かつその族に属する集合 A, B が B ⊂ A を満たすとき必ず A ∖ B もその族に属するならば、その単調族はディンキン族である。
- 任意の σ-集合環は単調族である。
- 集合代数の生成する単調族の全体は代数の生成するσ-集合代数の全体と対応を持つ。
- 集合環の生成する単調族は、その集合環の生成する σ-集合環と一致する。
参考文献
- Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 2009, ISBN 978-3-540-89727-9.
関連項目
外部リンク