D가군

수학에서 D가군(영어: D-module)은 미분 연산자들의 환에 대한 가군층이다. 선형 편미분 방정식의 추상화이며, 또한 평탄한 코쥘 접속을 갖춘 벡터 다발의 일반화이다.

정의

${\displaystyle X}$가 표수 0인 체 ${\displaystyle k}$에 대한 비특이 대수다양체라고 하고, ${\displaystyle X}$ 위의 정칙함수들의 층을 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$라고 하자. 또한, ${\displaystyle X}$ 위의 (대수적) 벡터장들로 생성되는 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-가군층 ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{X}}$를 생각하자. 이는 미분 연산자들로 간주할 수 있다.

${\displaystyle X}$ 위의 D가군 ${\displaystyle ({\mathcal {M}},\nabla )}$은 다음과 같은 데이터로 이루어져 있다.

• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-가군층 ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$
• ${\displaystyle k}$-선형사상 ${\displaystyle \nabla \colon {\mathcal {D}}_{X}\to \operatorname {End} (M)}$, ${\displaystyle v\mapsto \nabla _{v}}$

이는 다음과 같은 공리를 만족시켜야 한다. 모든 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$의 단면 ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$의 단면 ${\displaystyle m}$, ${\displaystyle X}$ 위의 벡터장 ${\displaystyle u,v}$에 대하여,

• (${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-선형성) ${\displaystyle \nabla _{fv}m=f(\nabla _{v}m)}$
• (곱 규칙) ${\displaystyle \nabla _{v}(fm)=(\nabla _{v}f)m+f\nabla _{v}m}$
• (리 괄호에 대한 준동형) ${\displaystyle \nabla _{[u,v]}=[\nabla _{v},\nabla _{v}]}$

예

국소 자유 가군층은 벡터 다발로 여길 수 있으며, 국소 자유 가군층인 D가군은 단순히 평탄한 코쥘 접속이 주어진 벡터 다발이다.

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{X}}$ 자체는 자명하게 D가군을 이룬다.

복소 아핀 공간 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ 위의 함수 공간 ${\displaystyle F}$가 다음 성질들을 만족시킨다면, ${\displaystyle F}$는 D가군을 이룬다.

• ${\displaystyle F}$는 덧셈 및 곱셈에 대하여 닫혀 있다.
• ${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\dots ,x_{n}]\subset F}$. 즉, ${\displaystyle F}$는 모든 다항함수를 포함한다.
• ${\displaystyle F}$는 미분에 대하여 닫혀 있다.

선형 편미분 방정식에 대응하는 D가군

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}=\{(z_{1},\dots ,z_{n})\}}$ 위의 선형 미분 연산자

${\displaystyle D=\sum _{\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n}}C_{\alpha ,\beta }z^{\alpha }\partial _{\beta }}$

로 정의되는 선형 편미분 방정식

${\displaystyle Df=0}$

을 생각해 보자. 그렇다면, 이 편미분 방정식에 대응되는 D가군은 ${\displaystyle D}$로 생성되는 ${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mathbb {C} ^{n}}}$의 아이디얼 ${\displaystyle (D)}$에 대한 몫환

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{\mathbb {C} ^{n}}/(D)}$

이다. 이 경우, D가군을 이루는 어떤 함수 공간 ${\displaystyle F}$ 속에서,

${\displaystyle Df=0\qquad (f\in F)}$

의 해들의 공간은

${\displaystyle \hom _{{\mathcal {D}}_{\mathbb {C} ^{n}}}({\mathcal {D}}_{\mathbb {C} ^{n}}/(D),F)}$

과 같다.

외부 링크

• “D-module”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “D-module”. 《nLab》 (영어). 2014년 12월 7일에 원본 문서에서 보존된 문서. 2014년 12월 5일에 확인함.