In de wiskunde duidt men met Appell-veeltermen of Appell-rij een veeltermrij aan, met de eigenschap dat de afgeleide van de
-de veelterm gelijk is aan
maal de
-de veelterm. Ze zijn genoemd naar de Franse wiskundige Paul Appell, die er in 1880 een artikel over publiceerde.[1]
Een Appell-rij is dus een rij veeltermen
waarbij
een veelterm is van graad
, en
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} A_{n}(x)}{\mathrm {d} x}}=nA_{n-1}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9f9560164033ff4b807a25b087bc868d37a9a08)
Er zijn oneindig veel rijen van veeltermen die hieraan voldoen; de eenvoudigste is wellicht de rij
![{\displaystyle 1,x,x^{2},\ldots ,x^{n},\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65b1e7b988f26a9a15cb5efb0058c4ecc62d2557)
van de opeenvolgende machten van de variabele
. Maar men kan met een willekeurige rij getallen
een Appell-rij maken; de overeenkomstige rij is:
,
waarvan de eerste termen zijn:
![{\displaystyle A_{0}(x)=a_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70be282af39af77d4be37af7eff5a273ec9951d3)
![{\displaystyle A_{1}(x)=a_{0}x+a_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2576df32247e74a71a2fefbbe374552682085327)
![{\displaystyle A_{2}(x)=a_{0}x^{2}+2a_{1}x+a_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4b5c2432214ca6b924a7ec9b799f754456f205)
![{\displaystyle A_{3}(x)=a_{0}x^{3}+3a_{1}x^{2}+3a_{2}x+a_{3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c7e4662a56506364805d9841d49fbe002795bcc3)
![{\displaystyle A_{4}(x)=a_{0}x^{4}+4a_{1}x^{3}+6a_{2}x^{2}+4a_{3}x+a_{4}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20131ed28323a169a80d4c13991ff80721974c95)
enzovoort. De
-de veelterm wordt recursief bepaald door:
![{\displaystyle A_{n}(x)=\int _{0}^{x}A_{n-1}(t)\mathrm {d} t+a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36d1ab4eb18469c4a9b3a7aab894fea943c32b3e)
waarin de integratieconstante
vrij te kiezen is (op voorwaarde dat
is). Als men
kiest, verkrijgt men de machten van
.
Hermite-veeltermen (mits scalering), bernoulli- en euler-veeltermen zijn voorbeelden van Appell-rijen. Bernoulli-veeltermen verkrijgt men door als integratieconstanten de Bernoulligetallen te nemen.
Voortbrengende functie
Appell noemde de functie
![{\displaystyle f(h)=a_{0}+a_{1}h+{\tfrac {a_{2}}{2!}}h^{2}+\ldots +{\tfrac {a_{n}}{n!}}h^{n}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3a7e8abb70e8495b5a817ddf3a1e7914e8584a4)
de voortbrengende functie van een Appell-rij. Bij elke
met gegeven coëfficiënten
hoort een Appell-rij
en omgekeerd. Het verband komt tot uiting indien men het product maakt van
met
![{\displaystyle e^{hx}=1+hx+{\tfrac {h^{2}}{2!}}x^{2}+\ldots +{\tfrac {h^{n}}{n!}}x^{n}+\dots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d940a097037ffaab0cb25b1998965757f4471487)
Als men dit product rangschikt naar de machten van
, is de coëfficiënt van
gelijk aan
:
![{\displaystyle f(h)e^{hx}=A_{0}+A_{1}h+A_{2}{\tfrac {h^{2}}{2!}}+\ldots +A_{n}{\tfrac {h^{n}}{n!}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ca5620cd59eb97aae3ab36967677656f13ba466)
Voorbeelden
Voor de machten van
is de voortbrengende functie
.
Met de voortbrengende functie
krijgt men:
![{\displaystyle (1-h)e^{hx}=1+(x-1)h+(x^{2}-2x){\tfrac {h^{2}}{2!}}+(x^{3}-3x^{2}){\tfrac {h^{3}}{3!}}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/485bde5bf5dadbae494d3ac38640c36701ffd095)
wat de veeltermrij
oplevert.
Als de functie
de rij
voortbrengt, en
wordt voortgebracht door de afgeleide
, is het verband tussen beide rijen:
![{\displaystyle B_{n}=A_{n+1}-xA_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82a056ffa23a6a6859a1db821170158b49e503dd)
Als de functie
de rij
voortbrengt, en
wordt voortgebracht door de integraal
,is het verband tussen beide rijen:
![{\displaystyle C_{n}=C_{0}x^{n}+A_{0}x^{n-1}+\ldots +A_{n-2}x+A_{n-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/324a047a0fa4307f40926ef2abb9291accb2f6e0)
Hierin is
een willekeurige integratieconstante.
Externe link
- Planet Math: Appell sequence
Bronnen, noten en/of referenties - ↑ P. Appell. "Sur une classe de polynômes." Annales scientifiques de l'É.N.S. 2e série (1880), vol. 9, blz. 119-144. Gearchiveerd op 21 december 2021.
|