Ongelijkheid van Cauchy-Schwarz

De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz, ook bekend als de ongelijkheid van Schwarz, de ongelijkheid van Cauchy of de ongelijkheid van Cauchy-Bunyakovski-Schwarz, is een stelling uit de lineaire algebra die stelt dat in elke inwendig-productruimte het inwendig product van twee vectoren van gegeven lengte absoluut gezien maximaal is als de vectoren in elkaars verlengde liggen. Dit wordt geformuleerd als: het kwadraat van het inwendig product van twee willekeurige vectoren x {\displaystyle x} en y {\displaystyle y} is ten hoogste gelijk aan het product van de inwendig producten van x {\displaystyle x} met zichzelf en y {\displaystyle y} met zichzelf. In formule:

| ⟨ x , y ⟩ | 2 ≤ ⟨ x , x ⟩ ⋅ ⟨ y , y ⟩ {\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle } .

Als x {\displaystyle x} en y {\displaystyle y} in elkaars verlengde liggen, dus als

y = λ x {\displaystyle y=\lambda x} ,

is inderdaad zoals boven genoemd:

| ⟨ x , y ⟩ | 2 = | λ | 2 ⟨ x , x ⟩ = ⟨ x , x ⟩ ⟨ λ x , λ x ⟩ = ⟨ x , x ⟩ ⟨ y , y ⟩ {\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}=|\lambda |^{2}\langle x,x\rangle =\langle x,x\rangle \langle \lambda x,\lambda x\rangle =\langle x,x\rangle \langle y,y\rangle } .

De ongelijkheid bestaat ook in een andere versie die gebruikmaakt van de door het inproduct geïnduceerde norm van de vectoren. Daartoe trekt men de wortel uit beide zijden van bovenstaande ongelijkheid:

| ⟨ x , y ⟩ | ≤ ‖ x ‖ ⋅ ‖ y ‖ {\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|}

De ongelijkheid van Cauchy-Schwarz is genoemd naar Augustin Louis Cauchy en Herrmann Amandus Schwarz.

Bewijs

Omdat de ongelijkheid triviaal waar is voor y = 0 , {\displaystyle y=0,} mogen we aannemen dat ⟨ y , y ⟩ {\displaystyle \langle y,y\rangle } niet-nul is. Voor elk complex getal λ {\displaystyle \lambda } geldt dan:

0 ≤ ⟨ x − λ y , x − λ y ⟩ = ⟨ x , x ⟩ − λ ⟨ y , x ⟩ − λ ¯ ⟨ x , y ⟩ + | λ | 2 ⟨ y , y ⟩ {\displaystyle 0\leq \langle x-\lambda y,x-\lambda y\rangle =\langle x,x\rangle -\lambda \langle y,x\rangle -{\overline {\lambda }}\langle x,y\rangle +|\lambda |^{2}\langle y,y\rangle }

Door de keuze

λ = ⟨ x , y ⟩ ⟨ y , y ⟩ {\displaystyle \lambda ={\frac {\langle x,y\rangle }{\langle y,y\rangle }}}

krijgt men:

0 ≤ ⟨ x , x ⟩ − | ⟨ x , y ⟩ | 2 ⟨ y , y ⟩ {\displaystyle 0\leq \langle x,x\rangle -{\frac {|\langle x,y\rangle |^{2}}{\langle y,y\rangle }}}

of anders geschreven:

| ⟨ x , y ⟩ | 2 ≤ ⟨ x , x ⟩ ⋅ ⟨ y , y ⟩ {\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle }

of equivalent met de geïnduceerde norm:

| ⟨ x , y ⟩ | ≤ ‖ x ‖ ‖ y ‖ {\displaystyle {\big |}\langle x,y\rangle {\big |}\leq \left\|x\right\|\left\|y\right\|}

Bijzondere gevallen

De oorspronkelijke ongelijkheid van Cauchy had betrekking op het canonieke inproduct in een eindigdimensionale euclidische ruimte. Voor eindige rijen reële of complexe getallen ( x i ) {\displaystyle (x_{i})} en ( y i ) {\displaystyle (y_{i})} wordt de formulering:

| ∑ x i y i | 2 ≤ ∑ | x i | 2 ∑ | y i | 2 {\displaystyle {\big |}\sum x_{i}y_{i}{\big |}^{2}\leq \sum |x_{i}|^{2}\sum |y_{i}|^{2}}

De ongelijkheid blijft gelden voor oneindige rijen die kwadratisch absoluut sommeerbaar zijn.

Voor kwadratisch lebesgue-integreerbare functies f {\displaystyle f} en g {\displaystyle g} luidt de ongelijkheid

| ∫ f g | 2 ≤ ∫ | f | 2 ∫ | g | 2 . {\displaystyle \left|\int fg\right|^{2}\leq \int |f|^{2}\int |g|^{2}.}

Driehoeksongelijkheid

In het bovenstaande gingen we er steeds van uit dat een inproduct een norm bepaalt. Om echter te weten dat het voorschrift

‖ x ‖ = ⟨ x , x ⟩ {\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}

wel degelijk een norm definieert, moest de driehoeksongelijkheid geverifieerd worden. Dit kan eenvoudig aan de hand van de ongelijkheid van Cauchy-Schwarz door het inproduct van x + y {\displaystyle x+y} met zichzelf uit te werken.

Zie ook