In de lineaire algebra is een scalaire vermenigvuldiging een vermenigvuldiging, maar waarbij alleen een van de twee operanden een echt getal is. De andere operand is een element uit een vectorruimte, meestal een vector, maar het kan ook een matrix zijn.
Scalaire vermenigvuldiging en scalair product moeten niet met elkaar worden verward, scalair product is een synoniem voor inwendig product.
Eigenschappen
De scalaire vermenigvuldiging is distributief. Zij
een lichaam (Ned) / veld (Be) en
een vectorveld. Waar in het volgende twee elementen
en
worden gekozen, hebben zij hetzelfde aantal rijen en kolommen, dus kunnen bij elkaar worden opgeteld. Dan geldt voor de scalaire vermenigvuldiging
of
het volgende:
- distributief over
: ![{\displaystyle \forall k_{1},k_{2}\in K,\mathbf {m} \in M:(k_{1}+k_{2})\times \mathbf {m} =k_{1}\times \mathbf {m} +k_{2}\times \mathbf {m} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65625344c86fe9114ede8aa12c6cafcd68d5276a)
- distributief over
: ![{\displaystyle \forall k\in K,\mathbf {m_{1}} ,\mathbf {m_{2}} \in M:k\times (\mathbf {m_{1}} +\mathbf {m_{2}} )=k\times \mathbf {m_{1}} +k\times \mathbf {m_{2}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e44d623a0e1abf5907f95ac11e436c88d090231)
- associatief:
![{\displaystyle \forall k_{1},k_{2}\in K,\ \mathbf {m} \in M:\left(k_{1}\times k_{2}\right)\times \mathbf {m} =k_{1}\times \left(k_{2}\times \mathbf {m} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5e6e5eb0b72319fe30e1efee7213c172e1ec32f)
![{\displaystyle 1\times \mathbf {m} =\mathbf {m} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ee4d5f9f1ce6d0ce4b303b327af8c97ac9f69fa)
Meetkundige interpretatie
- De vector
is een uitgerekte of ingekrompen versie van de vector
, en
is de schaalfactor.
- Als
en
twee verschillende vectoren zijn en
een schaalfactor verschillend van 0, dan is de lijn die
en
verbindt, evenwijdig met de lijn die
en
verbindt.
Voorbeelden
- Opblazen van het reële coördinatenvlak met een reële schaalfactor
:
![{\displaystyle f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}:(k,(x,y))\mapsto (kx,ky)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99ea78116e569b8d7218eb3ce0cc29f80baadca9)
![{\displaystyle f:\mathbb {Z} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} :(z,r)\mapsto zr}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91e0c7d2ca98c264cd0e12901a9b398520778455)
- Zij
een willekeurige additieve commutatieve groep:
, dus
keer uitgevoerd - Als
negatief is,
keer het tegengestelde element van
bij zichzelf optellen.
Modulen
Scalair vermenigvuldigen kan van lichamen/velden voor ringen worden gegeneraliseerd. De bewerkingen optellen en vermenigvuldigen worden dan niet meer in een vectorruimte uitgevoerd, maar in een moduul.