Gauss-integral

Grafisk fremstilling av Gauss-kurven i blått. Gauss-integralet gir størrelsen til arealet i rødt under kurven.

Gauss-integralet gir arealet under Gauss-kurven y = e−x2. I tillegg til å være av betydning i forskjellige deler av matematikken, har det mange anvendelser i sannsynlighetsregning, statistisk mekanikk, kvantemekanikk og kvantefeltteori. Integralet er definert som

∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = π {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}

og gir opphav til mange andre, relaterte integraler. Dets navn er knyttet til Carl Friedrich Gauss selv om flere andre matematikere som Leonhard Euler, Pierre-Simon Laplace og Siméon Denis Poisson var kjent med det.

Beregning

Det er ikke mulig å beregne det gaussiske integralet I  direkte fra de vanligste reglene for integrasjon. Men det lar seg gjøre fra det dobbelte integralet

I 0 2 = ∫ − ∞ + ∞ ∫ − ∞ + ∞ e − ( x 2 + y 2 ) d x d y {\displaystyle I_{0}^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy}

som kan beregnes ved å innføre polarkoordinater x = r cosθ og y = r sinθ. Det gir

I 0 2 = ∫ 0 2 π d θ ∫ 0 ∞ d r r e − r 2 = 2 π ⋅ 1 2 = π {\displaystyle I_{0}^{2}=\int _{0}^{2\pi }\!d\theta \int _{0}^{\infty }\!dr\,re^{-r^{2}}=2\pi \cdot {1 \over 2}=\pi }

hvor verdien til den radielle integrasjonen følger fra eksponentialfunksjonen ved å innføre t = r 2 som ny integrasjonsvariabel. Dermed har man verdien I0 = √π  av Gauss-integralet.

Relaterte integral

Ved et skifte av integrasjonsvariabel har Gauss-integralet på litt mer generell form verdien

∫ − ∞ ∞ e − a x 2 d x = π a {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\sqrt {\pi \over a}}}

Tar man her den deriverte av begge sider med hensyn på parameteren a, finner man at

∫ − ∞ ∞ x 2 e − a x 2 d x = π a 1 2 a {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx={\sqrt {\pi \over a}}{1 \over 2a}}

Fortsatte derivasjoner gir verdien av mer kompliserte integral.

En videre generalisering av Gauss-integralet er

∫ − ∞ ∞ d x e − a x 2 + b x = π a e b 2 / 4 a {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!dx\,e^{-ax^{2}+bx}={\sqrt {\pi \over a}}\;e^{b^{2}/4a}}

som fremkommer ved å skrive eksponenten som et fullstendig kvadrat,

a x 2 − b x = a ( x − b / 2 a ) 2 − b 2 4 a {\displaystyle ax^{2}-bx=a(x-b/2a)^{2}-{b^{2} \over 4a}}

og så skifte integrasjonsvariabel til y = x - b/2a.

Sammenheng med gammafunksjonen

Ved å bruke t = x 2 som ny variabel i Gauss-integralet, tar det formen

∫ − ∞ ∞ e − x 2 d x = ∫ 0 ∞ d t t − 1 / 2 e − t = Γ ( 1 / 2 ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx=\int _{0}^{\infty }\!dt\,t^{-1/2}e^{-t}=\Gamma (1/2)}

Det er derfor ekvivalent med den spesielle verdien Γ(1/2) = √π  for gammafunksjonen.

Mer generelle Gauss-integral kan gjøres på samme måte ved bruk av gammafunksjonen. For eksempel,

I 2 n = ∫ − ∞ ∞ d x x 2 n e − x 2 = ∫ 0 ∞ d t t n − 1 / 2 e − t = Γ ( n + 1 / 2 ) {\displaystyle I_{2n}=\int _{-\infty }^{\infty }\!dx\,x^{2n}e^{-x^{2}}=\int _{0}^{\infty }\!dt\,t^{n-1/2}e^{-t}=\Gamma (n+1/2)}

igjen etter substitusjonen x → t = x 2 slik at dt = 2xdx. For n = 1 gir dette I 2 = Γ(3/2) = Γ(1/2 + 1) = (1/2)⋅Γ(1/2) = √π /2 i overenstemmelse med hva som tidligere ble funnet.

Se også

  • Normalfordeling
  • Gammafunksjon

Litteratur

  • T. Lindstrøm, Kalkulus, Universitetsforlaget, Oslo (2016). ISBN 978-82-1502-710-4.
  • M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.

Eksterne lenker

  • K. Conrad, University of Connecticut, The Gaussian Integral
Oppslagsverk/autoritetsdata
MathWorld