Macierze gamma

W tym artykule występują konwencje związane z teoriami relatywistycznymi.

Macierze γ, macierze Diraca – zbiór czterech macierzy zespolonych ${\displaystyle 4\times 4,}$ ${\displaystyle \left\{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\right\},}$ stosowanych w relatywistycznej mechanice kwantowej.

Macierze gamma ${\displaystyle \gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}}$

Macierze ${\displaystyle \gamma }$ są zdefiniowane za pomocą 16 równań

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}\left(\gamma ^{0}\right)^{2}&=I\\\gamma ^{i}\gamma ^{0}+\gamma ^{0}\gamma ^{i}=\left\{\gamma ^{i},\gamma ^{0}\right\}&=0\\\gamma ^{i}\gamma ^{j}+\gamma ^{j}\gamma ^{i}=\left\{\gamma ^{i},\gamma ^{j}\right\}&=2g^{ij}I\end{aligned}}\right.}$

gdzie:

${\displaystyle i,}$ ${\displaystyle j}$ = ${\displaystyle 1,2,3}$

${\displaystyle g^{ij}}$ – element ${\displaystyle ij}$ tensora metrycznego ${\displaystyle g}$ czasoprzestrzeni ${\displaystyle g={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$ (przy czym np. ${\displaystyle g^{00}=1}$)

${\displaystyle I}$ – macierz jednostkowa 4 × 4

${\displaystyle \left\{A,B\right\}}$ – antykomutator A i B^[1].

Powyższe warunki można zapisać w równoważnej formie:

${\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \nu }I,}$

gdzie:

${\displaystyle \mu ,\nu =0,1,2,3.}$

Warunki określające macierze gamma wyprowadza się żądając m.in., by równanie Diraca spełniało jednocześnie równanie Kleina-Gordona. Warunki te nie definiują konkretnej postaci macierzy ${\displaystyle \gamma }$ – każda reprezentacja spełniająca je jest dobra.

Powyższe macierze zapisane są z górnymi wskaźnikami. Nazywa się je kontrawariantnymi macierzami gamma.

Macierze ${\displaystyle \gamma _{0},\gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}}$

Kowariantne macierze gamma są zdefiniowane następująco:

${\displaystyle \gamma _{\mu }=g_{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{\gamma ^{0},-\gamma ^{1},-\gamma ^{2},-\gamma ^{3}\right\},}$

gdzie ${\displaystyle \mu ,\nu =0,1,2,3}$

i sumacyjna reguła Einsteina jest tu założona.

Reprezentacje macierzy gamma

Najpopularniejszymi reprezentacjami są:

Reprezentacja Pauliego-Diraca

Zaproponowana przez Wolfganga Pauliego i Paula Diraca – macierze γ wyrażają się tu przez macierze Pauliego:

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\-\sigma _{i}&0\end{pmatrix}},}$

gdzie ${\displaystyle I}$ oznacza tu macierz jednostkową 2 × 2^[2]. Uwzględniając postacie macierzy Pauliego otrzymamy:

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},\quad &\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}},\\\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}},\quad &\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Macierz ${\displaystyle \gamma _{0}}$ jest zawsze macierzą hermitowską. Macierze ${\displaystyle \gamma _{1},\gamma _{2},\gamma _{3}}$ w tej reprezentacji są macierzami antyhermitowskimi, lecz nie jest tak w każdej reprezentacji.

Reprezentacja Weyla (chiralna)

Stosowana często w kwantowej teorii pola ze względu na wygodną postać operatorów rzutu na składowe spinora w tej reprezentacji^[3]:

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle \gamma ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\-\sigma _{i}&0\end{pmatrix}}.}$

Macierz γ⁵

Macierz γ⁵ jest zdefiniowana jako

${\displaystyle \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3},}$

gdzie ${\displaystyle i}$ oznacza jednostkę urojoną; macierz ta ma różną postać w zależności od reprezentacji. Np.

${\displaystyle \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}}$ w reprezentacji Diraca.

Właściwości:

• jest to macierz hermitowska, tj.

  ${\displaystyle (\gamma ^{5})^{\dagger }=\gamma ^{5},}$

• jej wartości własne są równe ${\displaystyle \pm 1,}$ gdyż

  ${\displaystyle (\gamma ^{5})^{2}=I}$

• antykomutuje z czterema macierzami gamma, tj.

  ${\displaystyle \left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0.}$

Pomimo że używa się tu symbolu gamma, macierz ta nie należy do algebry Clifforda Cℓ_1,3(R) – zaś macierze ${\displaystyle \gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}}$ należą do tej algebry. Ponadto liczba 5 użyta w jej oznaczeniu jest pozostałością starszej notacji, w której macierz ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ oznaczano jako ${\displaystyle \gamma ^{4}.}$

Macierze alfa, beta Diraca

Równanie Diraca można przekształcić do postaci analogicznej do równania Schrödingera, wprowadzając macierze

${\displaystyle \alpha ^{i}=\gamma ^{0}\gamma ^{i},\qquad {\text{dla}}\;\;i=1,2,3}$

${\displaystyle \beta =\gamma ^{0}.}$

Zachodzi też analogiczna odwrotna zależność:

${\displaystyle \gamma ^{i}=\gamma ^{0}\alpha ^{i}\qquad {\text{dla}}\;\;i=1,2,3.}$

W reprezentacji Diraca macierze te mają postać

${\displaystyle \alpha ^{i}={\begin{pmatrix}0&\sigma _{i}\\\sigma _{i}&0\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle \beta ={\begin{pmatrix}I&0\\0&-I\end{pmatrix}}.}$

Macierze alfa, beta Diraca są macierzami hermitowskimi.

Zobacz też

• macierze Pauliego
• równanie Diraca

Przypisy

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Dirac Matrices, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2016-06-05]  (ang.).