Stopa hazardu[1] – pochodna funkcji hazardu. Określa zbliżający się moment bankructwa danej firmy w najbliższej przyszłości. Potocznie nazywany natychmiastową stopą bankructwa.
Wzór
Stopa hazardu spełnia zależność:
dla każdego ![{\displaystyle t\geqslant 0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14c0237dcb3b11edcab5ec41642c0e94fe1a63da)
gdzie:
– funkcja hazardu,
– stopa hazardu.
Własności
Twierdzenie
Jeżeli zmienna
posiada gęstość
wówczas istnieje stopa hazardu dana wzorem:
![{\displaystyle \gamma _{P}(t)={\frac {{\mathcal {f}}_{P}(t)}{1-F_{P}(t)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3da0aaceb71ed70f0c988c335df5cd5d9e54ddd)
Odwrotnie, jeżeli stopa hazardu
istnieje, wówczas
posiada gęstość postaci:
![{\displaystyle {\mathcal {f}}_{P}(t)=\gamma _{P}(t)e^{-\Gamma _{P}(t)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b180f4dc247ad6417acdfc88bc2b814016dd719)
Dowód
Załóżmy, że
ma gęstość
Chcemy pokazać, że:
![{\displaystyle \int _{0}^{t}{\frac {{\mathcal {f}}_{P}(s)}{1-F_{P}(s)}}ds=\Gamma _{P}(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a8fea56d6ec2cf8ffd285b1646094444c8eafc3)
Wyliczając całkę po lewej, otrzymujemy:
![{\displaystyle \int _{0}^{t}{\frac {{\mathcal {f}}_{P}(s)}{1-F_{P}(s)}}ds=\int _{0}^{t}{\frac {F'_{P}(s)}{1-F_{P}(s)}}ds=-ln(1-F_{P}(t))=\Gamma _{P}(t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b81625b80460095df1146e8345df40c41a8a71b4)
gdyż
dla prawie wszystkich
Jeżeli stopa hazardu
istnieje i
dla prawie wszystkich
wówczas dystrybuanta wyraża się wzorem:
![{\displaystyle F_{P}(t)=1-e^{-\Gamma _{P}(t)},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54df3006140ff1163f774f0ad75fefeafddb98fc)
gdzie po zróżniczkowaniu otrzymujemy:
dla prawie wszystkich
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Przykłady
- Jeżeli moment bankructwa ma rozkład wykładniczy to dla każdego
![{\displaystyle t\geqslant 0{:}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92762fee457abdf513d10613c254bfc5199bc3ea)
![{\displaystyle \gamma _{P}(t)=\lambda ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1030ae6ac7b91a00cdc630d45bc518b979381dfc)
![{\displaystyle \Gamma _{P}(t)=\lambda t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba3ec87bb26fd9547536a483945052f9fe329ec)
- Dla rozkładu gamma o parametrach
oraz
stopa hazardu wyraża się wzorem:
dla każdego ![{\displaystyle t\geqslant 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bf3e9ef416a4a7afb218932aa7b9f72c0cf7488)
Przypisy
- ↑ MarekM. Capiński MarekM., TomasT. Zastawniak TomasT., Credit Risk, 26 września 2016 .brak strony (książka)