Twierdzenie Łuzina

Twierdzenie Łuzina – jedno z podstawowych twierdzeń teorii miary dotyczące przybliżania funkcji mierzalnych na prostej rzeczywistej (bądź ogólniej, na przestrzeniach z miarą Radona) przez funkcje ciągłe. Twierdzenie opublikowane w 1912 przez Łuzina^[1]. Littlewood wypowiedział nieformalnie twierdzenie Łuzina w następujący sposób: funkcje mierzalne są niemal ciągłe^[2] (zob. trzy zasady analizy rzeczywistej Littlewooda).

Klasyczna wersja

Niech

${\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {C} }$

będzie funkcją mierzalną. Wówczas dla każdego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje taki zbiór zwarty ${\displaystyle K\subseteq [a,b],}$ że zawężenie ${\displaystyle f|_{K}}$ jest funkcją ciągłą oraz

${\displaystyle \mu (K)>b-a-\varepsilon ,}$

przy czym ${\displaystyle \mu }$ oznacza miarę Lebesgue’a^[3].

Wersje ogólne

Wersja dla przestrzeni polskich

Niech ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ będzie przestrzenią polską ze skończoną miarą borelowską oraz niech ${\displaystyle Y}$ będzie przestrzenią topologiczną spełniającą drugi aksjomat przeliczalności. Jeżeli

${\displaystyle f\colon X\to Y}$

jest funkcją mierzalną, to dla każdego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje taki zbiór zwarty ${\displaystyle K\subseteq X,}$ że

${\displaystyle \mu (X\setminus K)<\varepsilon }$

oraz restrykcja ${\displaystyle f|_{K}}$ jest funkcją ciągłą^[4][5].

Wersja dla przestrzeni lokalnie zwartych

Niech ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ będzie przestrzenią lokalnie zwartą z miarą borelowską, która przyjmuje skończone wartości na zbiorach zwartych oraz jest wewnętrznie regularna na zbiorach otwartych, tj. dla każdego zbioru otwartego ${\displaystyle U}$ w ${\displaystyle X}$ zachodzi

${\displaystyle \mu (U)=\sup\{\mu (K)\colon K\subseteq U,K{\text{ zwarty}}\}.}$

Jeżeli

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$

jest funkcją mierzalną, to dla każdego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje taki zbiór zwarty ${\displaystyle K\subseteq X,}$ że

${\displaystyle \mu (X\setminus K)<\varepsilon }$^[5].

Wersja dla przestrzeni normalnych

Niech ${\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}$ będzie przestrzenią normalną ze skończoną miarą borelowską, która jest regularna. Jeżeli

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$

jest funkcją mierzalną, to dla każdego ${\displaystyle \varepsilon >0}$ istnieje taki zbiór domknięty ${\displaystyle K\subseteq X,}$ że

${\displaystyle \mu (X\setminus K)<\varepsilon }$

oraz restrykcja ${\displaystyle f|_{K}}$ jest funkcją ciągłą^[5][6].

Aproksymacja funkcją ciągłą

Niech ${\displaystyle Y=\mathbb {C} .}$ Każda przestrzeń metryczna jest normalna, więc twierdzenie Tietzego-Urysohna stosuje się do restrykcji ${\displaystyle f|_{K}}$ w wypowiedzi twierdzenia dla przestrzeni polskich i normalnych. W przypadku dotyczącym przestrzeni lokalnie zwartych zbiór ${\displaystyle K}$ jest zwarty, więc stosuje się wówczas wersja tego twierdzenia dla przestrzeni lokalnie zwartych. Oznacza to, że w każdym z tych trzech przypadków istnieje taka funkcja ciągła

${\displaystyle f_{\varepsilon }\colon X\to Y,}$

że

${\displaystyle \mu (\{x\in X\colon f(x)\neq g(x)\})\leqslant \varepsilon }$

oraz

${\displaystyle \sup _{x\in X}|f_{\varepsilon }(x)|\leqslant \sup _{x\in X}|f(x)|}$^[6].

W przypadku lokalnie zwartym, ${\displaystyle f_{\varepsilon }}$ może być dodatkowo dobrana tak by znikała ona w nieskończoności, tj. dla każdego ${\displaystyle \delta >0}$ zbiór

${\displaystyle \{x\in X\colon |f_{\varepsilon }(x)|\geqslant \delta \}}$

jest zwarty^[7].

Sformułowanie twierdzenia dla funkcji przyjmujących wartości w przestrzeniach spełniających drugi aksjomat przeliczalności pochodzi od Schaerfa^[8][9].

Dowód wersji twierdzenia dla przestrzeni polskich

Niech ${\displaystyle \varepsilon >0.}$ Niech

${\displaystyle {\mathcal {V}}=\{V_{j}\colon j\in \mathbb {N} \}}$

będzie (przeliczalną) bazą przestrzeni ${\displaystyle Y.}$ Każda skończona miara borelowska na przestrzeni metrycznej jest regularna^[10], więc z mierzalności funkcji ${\displaystyle f}$ wynika, że dla każdej liczby naturalnej ${\displaystyle j}$ można wybrać taki zbiór otwarty ${\displaystyle U_{j}\subseteq X,}$ że

• ${\displaystyle U_{j}\supseteq f^{-1}(V_{j}),}$
• ${\displaystyle \mu (U_{j}\setminus f^{-1}(V_{j}))<{\frac {\varepsilon }{2^{j}}}.}$

Niech

${\displaystyle H=\bigcup _{j=1}^{\infty }(U_{j}\setminus f^{-1}(V_{j}))}$

oraz ${\displaystyle E=X\setminus H.}$

Wówczas ${\displaystyle H,E\in \Sigma }$ oraz

${\displaystyle \mu (H)\leqslant \sum _{j=1}^{\infty }\mu (U_{j}\setminus f^{-1}(V_{j}))\leqslant \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {\varepsilon }{2^{j}}}=\varepsilon .}$

Niech ${\displaystyle g=f|_{E}.}$ Wówczas

${\displaystyle U_{j}\cap E=g^{-1}(V_{j})\quad (j\in \mathbb {N} ).}$

(1)

Istotnie, inkluzja od prawej do lewej zachodzi z samego określenia przeciwobrazu. Ponadto,

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{j}\cap E&\subseteq U_{j}\cap [X\setminus (U_{j}\cap f^{-1}(U_{j}))]\\&=U_{j}\cap X\cap [(X\setminus U_{j})\cup f^{-1}(V_{j})]\\&=f^{-1}(V_{j}),\end{aligned}}}$

co dowodzi (1).

Należy wykazać, że funkcja ${\displaystyle g}$ jest ciągła. Niech ${\displaystyle V}$ będzie zbiorem otwartym w ${\displaystyle Y.}$ Wówczas

${\displaystyle V=\bigcup _{j\in M}V_{j}}$

dla pewnego zbioru ${\displaystyle M\subseteq \mathbb {N} }$ z uwagi na to, że rodzina ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ jest bazą przestrzeni ${\displaystyle Y.}$ Stąd,

${\displaystyle g^{-1}(V)=\bigcup _{j\in M}g^{-1}(V_{j})=E\cap \bigcup _{j\in M}U_{j},}$

co oznacza, że zbiór ${\displaystyle g^{-1}(V)}$ jest otwarty w (topologii podprzestrzeni) ${\displaystyle E.}$

Z lematu Łuzina wynika istnienie takiego zbioru zwartego ${\displaystyle K\subseteq E,}$ że

${\displaystyle \mu (X\setminus K)<\varepsilon .}$^[5][11].

Zastosowania

Aproksymacja prawie wszędzie funkcji mierzalnych przez funkcje ciągłe

Niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią normalną oraz niech ${\displaystyle \mu }$ będzie skończoną regularną miarą borelowską na ${\displaystyle X}$ bądź niech ${\displaystyle X}$ będzie przestrzenią lokalnie zwartą oraz niech ${\displaystyle \mu }$ będzie miarą borelowską, która jest skończona na zbiorach zwartych oraz jest wewnętrzenie regularna na zbiorach otwartych. Wówczas dla każdej funkcji mierzalnej

${\displaystyle f\colon X\to \mathbb {C} }$

istnieje ciąg funkcji ciągłych

${\displaystyle f_{n}\colon X\to \mathbb {C} ,}$

który jest zbieżny do ${\displaystyle f}$ zbieżność prawie wszędzie oraz

${\displaystyle \sup _{x\in X}|f_{n}(x)|\leqslant \sup _{x\in X}|f(x)|\quad (n\in \mathbb {N} )}$^[12].

Gęstość funkcji ciągłych o zwartym nośniku w przestrzeniach funkcji całkowalnych

 Osobny artykuł: Przestrzeń Lp.

W przypadku, gdy ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią lokalnie zwartą oraz ${\displaystyle \mu }$ jest miarą borelowską, która jest skończona na zbiorach zwartych oraz jest wewnętrzenie regularna na zbiorach otwartych, dla każdego ${\displaystyle p\in [1,\infty )}$ przestrzeń ${\displaystyle C_{c}(X)}$ funkcji ciągłych o zwartym nośniku jest gęsta w przestrzeni ${\displaystyle L_{p}(\mu )}$.

Istotnie, ${\displaystyle C_{b}(X)}$ jest podzbiorem ${\displaystyle L_{p}(\mu ),}$ gdyż dla każdej funkcji ${\displaystyle g\in C_{c}(X)}$ zachodzi

${\displaystyle \int \limits _{X}|g(x)|^{p}\,\mu (\mathrm {d} x)\leqslant \mu (\mathrm {supp} \,g)\cdot \sup _{x\in \mathrm {supp} \,g}|g(x)|^{p}<\infty }$^[13],

gdzie skończoność ${\displaystyle \mu (\mathrm {supp} \,g)}$ wynika z założenia o skończoności miary ${\displaystyle \mu }$ na zbiorach zwartych a nierówność

${\displaystyle \sup _{x\in \mathrm {supp} \,g}|g(x)|^{p}<\infty }$

wynika z twierdzenia Weierstrassa. Niech ${\displaystyle f\in L_{p}(\mu ).}$ Ponieważ funkcje prawie wszędzie ograniczone w ${\displaystyle L_{p}(\mu )}$ są gęste bez straty ogólności można przyjąć, że ${\displaystyle f}$ jest wszędzie ograniczona. Oznaczmy

${\displaystyle M=\sup _{x\in X}|f(x)|.}$

Niech dany będzie ${\displaystyle \varepsilon >0.}$ Z twierdzenia Łuzina wynika, że istnieje wówczas taki zbiór zwarty ${\displaystyle K}$ oraz funkcja ${\displaystyle g\in C_{c}(X),}$ że

• ${\displaystyle g|_{K}=f|_{K},}$
• ${\displaystyle \sup _{x\in X}|g(x)|\leqslant M,}$
• ${\displaystyle \mu (X\setminus K)<{\frac {\varepsilon ^{p}}{(2M)^{p}}}.}$

Wówczas

${\displaystyle \|f-g\|_{L_{p}(\mu )}^{p}=\int \limits _{X\setminus K}|f(x)-g(x)|^{p}\,\mu (\mathrm {d} x)\leqslant \mu (X\setminus K)\cdot \sup _{x\in X\setminus K}|f(x)-g(x)|^{p}\leqslant {\frac {\varepsilon ^{p}}{(2M)^{p}}}\cdot (2M)^{p}=\varepsilon ^{p},}$

co dowodzi gęstości ${\displaystyle C_{c}(X)}$ w ${\displaystyle L_{p}(\mu ).}$

Przypisy

Bibliografia

• Robert B. Ash: Real analysis and Probability. New York, San Francisco, London: Academic Press, 1972, seria: Probability and Mathematical Statistics: A Series of Monographs and Textbooks.brak strony w książce
• Vladimir I. Bogachev: Measure theory. T. 1. Springer, 2007. ISBN 978-3-540-34513-8.brak strony w książce
• Zdzisław Denkowski, Stanisław Migórski, Nikolaos S. Papageorgiou, An Introduction to Nonlinear Analysis: Theory, Kluwer Academic/Plenum Publishers, Boston-Dordrecht-London-New York 2003, ISBN 0-306-47392-5.
• Alexander S. Kechris: Classical descriptive set theory. Nowy Jork: Springer-Verlag, 1995, seria: Graduate Texts in Mathematics, 156. ISBN 0-387-94374-9.brak strony w książce
• John Littlewood, Lectures on the Theory of Functions. Oxford University Press, 1944.
• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973.brak strony w książce
• Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Warszawa: PWN, 1986. ISBN 83-01-05124-8.brak strony w książce
• Charles Swartz: Measure, Integration and Function Spaces. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific, 1994. ISBN 978-981-02-1610-8.brak strony w książce
• J. Yeh: Real Analysis: Theory of Measure and Integration. Wyd. 2. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong: World Scientific, 2006.brak strony w książce