Twierdzenie o residuach

Twierdzenie o residuach – twierdzenie analizy zespolonej dostarczające metody obliczania wartości całek krzywoliniowych – konkretniej całek okrężnych – funkcji meromorficznych. Uogólnia ono twierdzenie Cauchy’ego (orzekające, że całka po drodze zamkniętej z funkcji holomorficznej jest równa zeru). Twierdzenie o residuach umożliwia obliczenie niektórych bardziej złożonych całek rzeczywistych.

Twierdzenie

Ilustracja założeń twierdzenia

Niech U {\displaystyle U} będzie obszarem jednospójnym na płaszczyźnie zespolonej C , {\displaystyle \mathbb {C} ,} a ponadto a 1 , … , a n ∈ U {\displaystyle a_{1},\dots ,a_{n}\in U} oraz f : U ∖ { a 1 , … , a n } ⟶ C {\displaystyle f:U\setminus \{a_{1},\dots ,a_{n}\}\longrightarrow {\mathbb {C} }} będzie funkcją holomorficzną.

Jeżeli γ {\displaystyle \gamma } jest zamkniętą krzywą prostowalną zawartą w U ∖ { a 1 , … , a n } , {\displaystyle U\setminus \{a_{1},\dots ,a_{n}\},} to

∮ γ f ( z ) d z = 2 π i ∑ k = 1 n I ⁡ ( γ , a k ) Res ⁡ ( f , a k ) . {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}

Jeśli γ {\displaystyle \gamma } jest krzywą Jordana, to I ⁡ ( γ , a k ) = 1 {\displaystyle \operatorname {I} (\gamma ,a_{k})=1} więc

∮ γ f ( z ) d z = 2 π i ∑ k = 1 n Res ⁡ ( f , a k ) . {\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {Res} (f,a_{k}).}

Powyżej, Res ⁡ ( f , a k ) {\displaystyle \operatorname {Res} (f,a_{k})} oznacza residuum funkcji f w a k , {\displaystyle a_{k},} a I ⁡ ( γ , a k ) {\displaystyle \operatorname {I} (\gamma ,a_{k})} to indeks punktu a k {\displaystyle a_{k}} względem krzywej γ . {\displaystyle \gamma .}

Zobacz też

Bibliografia

  • Stanisław Saks, Antoni Zygmund: Funkcje analityczne. Warszawa-Lwów-Wilno: 1938, s. 185–188, seria: Monografie Matematyczne. Tom 10. Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki.