Wiązka wektorowa

Wiązka wektorowa – przestrzeń topologiczna z dołączoną przestrzenią wektorową w każdym punkcie w taki sposób, że całość tworzy także przestrzeń topologiczną.

Wiązkę wektorową można rozważać również nad rozmaitością różniczkową. Wtedy wymaga się by była ona rozmaitością różniczkową (a nie tylko przestrzenią topologiczną).

Definicja formalna

${\displaystyle (E,M,\pi )}$ jest wiązką wektorową nad rozmaitością różniczkową ${\displaystyle M}$ jeśli:

1. ${\displaystyle E}$ jest rozmaitością różniczkową,
2. ${\displaystyle \pi :E\to M}$ jest ciągłą suriekcją (zwaną kanoniczną projekcją),
3. każde włókno ${\displaystyle E_{p}=\pi ^{-1}(\{p\})}$ ma strukturę przestrzeni liniowej nad ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$
4. dla każdego punktu rozmaitości ${\displaystyle M}$ istnieją jego otoczenie ${\displaystyle U\subset M}$ oraz liczba naturalna ${\displaystyle n,}$ takie że ${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$ jest dyfeomorficzny z ${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{n}}$ za pomocą dyfeomorfizmu ${\displaystyle \Phi _{U}:U\times \mathbb {R} ^{n}\to \pi ^{-1}(U),}$ takiego że ${\displaystyle \pi \circ \Phi _{U}}$ jest rzutowaniem na pierwszą współrzędną w iloczynie kartezjańskim ${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{n}.}$

Przykłady

• Wiązka styczna i wiązka kostyczna są przykładami wiązki wektorowej.
• Iloczyn kartezjański ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times M}$ z naturalną projekcją i naturalną strukturą różniczkową jest wiązką wektorową zwaną trywialną wiązką wektorową.

Bibliografia

• Wojciech Wojtyński, Grupy i algebry Liego, PWN, 1986.

Linki zewnętrzne

• Vector bundle (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].