Decomposição LU

Em álgebra linear, a decomposição LU (em que LU vem do inglês lower e upper) é uma forma de fatoração de uma matriz não singular como o produto de uma matriz triangular inferior (lower) e uma matriz triangular superior (upper). Às vezes se deve pré-multiplicar a matriz a ser decomposta por uma matriz de permutação. Esta decomposição se usa em análise numérica para resolver sistemas de equações (mais eficientemente) ou encontrar as matrizes inversas.

Definições

Sendo A uma matriz simples quadrada. Uma fatoração LU refere-se à fatoração de A , com ordenações ou permutações adequadas de linhas e/ou colunas, em dois fatores - uma matriz triangular inferior L e uma matriz triangular superior U :

${\displaystyle A=LU,\,}$

onde L e U são, respectivamente, matrizes inferiores e superiores triangulares. Na matriz triangular inferior, todos os elementos acima da diagonal são zero; na matriz triangular superior, todos os elementos abaixo da diagonal são zero.

Para matrizes ${\displaystyle 3\times 3}$ , sua decomposição LU, é:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}l_{11}&0&0\\l_{21}&l_{22}&0\\l_{31}&l_{32}&l_{33}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u_{11}&u_{12}&u_{13}\\0&u_{22}&u_{23}\\0&0&u_{33}\\\end{pmatrix}}}$

Sem uma ordenação adequada ou permutações na matriz, a fatoração pode não se materializar. Por exemplo, é fácil verificar (expandindo a multiplicação da matriz) que ${\displaystyle a_{11}=l_{11}.u_{11}}$. Se ${\displaystyle a_{11}=0}$, então pelo menos um de ${\displaystyle l_{11}}$e ${\displaystyle u_{11}}$ tem que ser zero, o que implica que L ou U são singulares. Isso é impossível se A for não singular (invertível). Este é um problema processual. Ele pode ser removido simplesmente reordenando as linhas de A de modo que o primeiro elemento da matriz permutada seja diferente de zero. O mesmo problema nas etapas de fatoração subsequentes pode ser removido da mesma maneira; veja o procedimento básico abaixo.

Fatoração LU com pivotamento parcial

Acontece que uma permutação apropriada em linhas (ou colunas) é suficiente para a fatoração LU. Fatoração LU com pivotamento parcial (LUP) se refere frequentemente à fatoração LU apenas com permutações de linha:

${\displaystyle PA=LU}$,

onde L e U são novamente inferior e superior matrizes triangulares, e P é uma matriz de permutação , que, quando deixou-multiplicado a um , reordena as linhas de Uma . Acontece que todas as matrizes quadradas podem ser fatoradas desta forma,  e a fatoração é numericamente estável na prática.  Isso torna a decomposição do LUP uma técnica útil na prática.

Fatoração LU com pivotamento completo

Uma fatoração LU com pivotamento completo envolve permutações de linha e coluna:

${\displaystyle PAQ=LU}$,

onde L , L e P são definidos como anteriormente, e Q é uma matriz de permutação que reordena as colunas de um.

Decomposição diagonal inferior-superior (LDU)

Uma decomposição inferior diagonal superior (LDU) é uma decomposição da forma

${\displaystyle A=LDU}$,

onde D é uma matriz diagonal e L e U são matrizes unitriangulares , o que significa que todas as entradas nas diagonais de L e U são 1.

Acima exigimos que A seja uma matriz quadrada, mas essas decomposições podem ser generalizadas para matrizes retangulares também. Nesse caso, G e D são matrizes quadradas sendo que ambos têm o mesmo número de filas como um , e L possui exactamente as mesmas dimensões que um . O triangular superior deve ser interpretado como tendo apenas zero entradas abaixo da diagonal principal, que começa no canto superior esquerdo.

Exemplos

Fatoramos a seguinte matriz 2 por 2:

${\displaystyle A={\displaystyle {\begin{bmatrix}4&3\\6&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\ell _{11}&0\\\ell _{21}&\ell _{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{11}&u_{12}\\0&u_{22}\end{bmatrix}}.}}$

Uma maneira de encontrar a decomposição LU dessa matriz simples seria simplesmente realizar a eliminação de Gauss:

${\displaystyle A={\displaystyle {\begin{bmatrix}4&3\\6&3\end{bmatrix}}}}$

Onde ${\displaystyle m}$ é multiplicador que é dado por:

${\displaystyle m={a_{21} \over a_{11}}={6 \over 4}}$

Logo obtemos a matriz

${\displaystyle U={\displaystyle {\begin{bmatrix}4&3\\0&-1,5\end{bmatrix}}}}$

E a matriz L que é uma matriz triangular superior (ou seja, todas as entradas de sua diagonal principal são 1) e os demais componentes são o valor dos multiplicadores utilizados na eliminação de Gauss

${\displaystyle L={\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\m&1\end{bmatrix}}}={\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\{6 \over 4}&1\end{bmatrix}}}}$

Portanto podemos escrever a matriz A da seguinte forma:

${\displaystyle {\displaystyle {\begin{bmatrix}4&3\\6&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\1.5&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&3\\0&-1.5\end{bmatrix}}.}}$

Unicidade

As matrizes L e U são únicas, se a matriz não é singular. Em caso contrário podem não ser únicas.

Demonstração:

Dada a matriz A ∈ ${\displaystyle R^{mxn}}$

${\displaystyle A=L_{1}U_{1}\,}$ e ${\displaystyle A=L_{2}U_{2}\,}$

Recordemos que ${\displaystyle L_{1},U_{1},L_{2},U_{2}\,}$ são invertíveis por terem o determinante diferente de zero.

Então:

${\displaystyle L_{1}U_{1}=L_{2}U_{2}\,}$

${\displaystyle {L_{2}}^{-1}L_{1}=U_{2}{U_{1}}^{-1}}$

Então ${\displaystyle {L_{2}}^{-1}L_{1}}$ é uma matriz triangular inferior, com 1s na diagonal e, consequentemente, ${\displaystyle U_{2}{U_{1}}^{-1}}$ possui 1s na diagonal e é triangular superior (recordando que o produto matricial de triangulares superiores/inferiores é triangular superior/inferior). A única matriz que cumpre estas duas propriedades é a matriz identidade. Portanto:

${\displaystyle {L_{2}}^{-1}L_{1}=I}$ e ${\displaystyle U_{2}{U_{1}}^{-1}=I}$

Com o qual:

${\displaystyle L_{1}=L_{2}\,}$ e ${\displaystyle U_{1}=U_{2}\,}$

Existência e singularidade

Matrizes quadradas

Qualquer matriz quadrada${\textstyle A}$ admite fatorações LUP e PLU. Se ${\textstyle A}$ é invertível^[1], então admite uma fatoração LU (ou LDU) se e somente se todos os seu principais menores são diferentes de 0.Se ${\textstyle A}$ é uma matriz de classificação ${\textstyle k}$, então ele admite uma uma fatoração LU se o primeiro ${\textstyle k}$ os principais menores são diferentes de 0, embora o inverso não seja verdadeiro.^[2]

Se uma matriz quadrada e invertível tem uma LDU (fatoração com todas as entradas diagonais de L e U iguais a 1), então a fatoração é única.^[3] Nesse caso, a fatoração LU também é única se exigirmos que a diagonal de ${\textstyle L}$ (ou ${\textstyle U}$) consiste em uns.

Matrizes simétricas positivas-definidas

Se A for uma matriz simétrica (ou matriz hermitiana^[4], se A for complexa) positiva definida ^[5], podemos organizar as coisas de forma que U seja a transposta conjugada de L. Ou seja, podemos escrever A como

${\displaystyle A=LL^{*}.\,}$

Esta decomposição é chamada de Decomposição de Cholesky. A decomposição de Cholesky sempre existe e é única — desde que a matriz seja definida positiva. Além disso, calcular a decomposição de Cholesky é mais eficiente e numericamente mais estável do que calcular algumas outras decomposições LU.

Matrizes gerais

Para uma matriz (não necessariamente invertível) sobre qualquer corpo, as condições exatas necessárias e suficientes sob as quais ela tem uma fatoração LU são conhecidas. Tais condições são expressas em termos da classificação de certas submatrizes. O algoritmo de eliminação gaussiana para obter a decomposição LU também foi estendido para este caso mais geral. ^[6]

Algoritmos

A decomposição LU é basicamente uma forma modificada da eliminação gaussiana. Transformamos a matriz A em uma triangular superior U anulando os elementos debaixo da diagonal.

${\displaystyle E_{1}*E_{2}*...*E_{n}*A=U}$

Onde ${\displaystyle E_{1},E_{2},...,E_{n}}$ são matrizes elementares, que representam os distintos passos da eliminação.

Logo, recordando que a inversa de uma matríz elementar é outra matriz elementar:

${\displaystyle A=E_{n}^{-1}*E_{n-1}^{-1}*...*E_{1}^{-1}*U\,}$

Consequentemente, L ${\displaystyle E_{n}^{-1}*E_{n-1}^{-1}*...*E_{1}^{-1}}$ é uma matriz triangular inferior.

Aplicações

Resolução de sistemas de equações lineares

Dada a equação matricial

${\displaystyle Ax=LUx=b\,}$

Queremos a solução para um determinando A e b. Os passos são os seguintes:

1. Primeiro, resolvemos ${\displaystyle Ly=b\,}$ para y
2. Segundo, resolvemos ${\displaystyle Ux=y\,}$ para x.

Note-se que já temos as matrizes L e U. A vantagem deste método é a eficiência computacional porque podemos escolher qualquer novo o vetor b que não teremos que voltar a fazer a eliminação de Gauss a cada vez.

Matriz inversa

As matrizes L e U podem ser usadas para calcular a matriz inversa. Algumas implementações que invertem matrizes usam este método.

No caso em que

${\displaystyle Ax=LUx=b,\,}$

x e b são tratados como vetores. Ao trocar o vetor x pela matriz X e o vetor b pela matriz B passamos a ter

${\displaystyle AX=LUX=B.\,}$

Agora, supondo que B seja a matriz identidade, teremos então que X será a inversa de A.

Determinante de uma matriz

As matrizes ${\displaystyle L}$ e ${\displaystyle U}$ podem ser usadas para calcular o determinante da matriz ${\displaystyle A}$ muito eficientemente porque ${\displaystyle det(A)=det(L)det(U)\,}$ e os determinantes de matrizes triangulares são simplesmente o produto dos elementos de suas diagonais. Em particular, se L é uma matriz triangular em cuja diagonal todos os elementos são 1s, então:

${\displaystyle \det(A)=\det(L)\det(U)=\prod _{i=1}^{n}u_{ii}.}$

A mesma aproximação ao problema pode ser usada para decomposições LUP nas que aparecem matrizes de permutação, pois o determinante de uma matriz de permutação P é (−1)^S, onde ${\displaystyle S}$ é o número de permutações de filas na decomposição.

Referências

• Bunch, James R.; Hopcroft, John (1974), "Triangular factorization and inversion by fast matrix multiplication", Mathematics of Computation, 28 (125): 231–236, Doi:10.23072005828 ISSN:0025-5718JSTOR:2005828.
• Thomas_H._Cormen, Charles_E._Leiserson , Ronald_L._Rivest , Clifford_Stein (2001), Introduction_to_Algorithms, MIT Press and McGraw-Hill, ISBN:978-0-262-03293-3.
• Gene_H._Golub; Charles_F._Van_Loan. (1996), Matrix Computations (3rd ed.), Baltimore: Johns Hopkins, ISBN:978-0-8018-5414-9.
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis, Cambridge University Press, ISBN: 978-0-521-38632-6. See Section 3.5. N − 1
• Householder, Alston S. (1975), The Theory of Matrices in Numerical Analysis, New York: Dover_Publications: MR0378371
• Okunev, Pavel; Johnson, Charles R. (1997), Necessary And Sufficient Conditions For Existence of the LU Factorization of an Arbitrary Matrix, ArXiv:math.NA/0506382.
• Poole, David (2006), Linear Algebra: A Modern Introduction (2nd ed.), Canada: Thomson Brooks/Cole, ISBN: 978-0-534-99845-5.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007), "Section 2.3" , Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York: Cambridge University Press, ISBN:978-0-521-88068-8
• Nicholas_Trefethen; Bau, David (1997), Numerical linear algebra, Philadelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN:978-0-89871-361-9.