Equação de Torricelli

A Equação de Torricelli é uma equação proposta pelo físico e matemático italiano Evangelista Torricelli. O primeiro registro da equação na literatura remonta aos estudos de Torricelli a respeito do movimento da água. Ao tentar determinar a velocidade de saída de um jato d’agua jorrando de um pequeno orifício de um recipiente, ele notou que a velocidade do fluxo seria igual a velocidade de uma gota em queda livre.^[1]

Comumente essa equação aparece nos livros didáticos como uma forma calcular a velocidade final de um corpo em movimento retilíneo uniformemente variado, ou seja, com aceleração constante, sem a necessidade de se conhecer o intervalo de tempo em que este permaneceu em movimento.^[2]

A equação tem a forma:

${\displaystyle {v}^{2}={v_{o}}^{2}+2a\Delta x}$

Onde ${\displaystyle v}$ representa a velocidade final do corpo, ${\displaystyle v_{0}}$ representa a velocidade inicial do corpo, ${\displaystyle \Delta x}$ representa o deslocamento e ${\displaystyle a}$ representa a aceleração.^[3]

Deduções

Pela cinemática

Esta equação pode ser deduzida a partir das seguintes equações^[3]

${\displaystyle x=x_{o}+v_{o}t+{\frac {at^{2}}{2}}}$

(1)

${\displaystyle v=v_{o}+at}$

(2)

Isolando ${\displaystyle t}$ na Equação (2), temos que^[4]

${\displaystyle t={\frac {(v-v_{o})}{a}}}$

E substituindo-o na Equação (1), temos que^[4]

${\displaystyle x-x_{o}=v_{o}\left({\frac {v-v_{o}}{a}}\right)+{\frac {a}{2}}\left({\frac {v-v_{o}}{a}}\right)^{2}}$

Podemos chamar ${\displaystyle x-x_{0}}$ de ${\displaystyle \Delta x}$

${\displaystyle \Delta x=\left({\frac {vv_{o}-v_{o}^{2}}{a}}\right)+{\frac {a}{2}}\left({\frac {v^{2}-2vv_{o}+v_{o}^{2}}{a^{2}}}\right)}$

${\displaystyle \Delta x={\frac {vv_{o}-v_{o}^{2}}{a}}+{\frac {v^{2}-2vv_{o}+v_{o}^{2}}{2a}}}$

${\displaystyle \Delta x={\frac {2v_{o}-2v_{o}^{2}}{2a}}+{\frac {v^{2}-2vv_{o}+v_{o}^{2}}{2a}}}$

${\displaystyle 2a\Delta x=2vv_{o}-2v_{o}^{2}+v^{2}-2vv_{o}+v_{o}^{2}}$

${\displaystyle 2a\Delta x=-v_{o}^{2}+v^{2}}$

E por fim, temos o resultado desejado

${\displaystyle v^{2}=v_{o}^{2}+2a\Delta x}$

Pelo teorema do trabalho-energia

O teorema do trabalho-energia diz que o trabalho produzido por uma força, em um determinado corpo, é igual à variação da energia cinética desse corpo.^[5]

${\displaystyle W=\Delta K}$

${\displaystyle F\Delta x={\frac {m{v}^{2}}{2}}-{\frac {m{v_{0}}^{2}}{2}}}$

Pela segunda lei de Newton, sabemos que ${\displaystyle F=ma}$

${\displaystyle ma\Delta x={\frac {m{v}^{2}}{2}}-{\frac {m{v_{0}}^{2}}{2}}}$

${\displaystyle a\Delta x={\frac {{v}^{2}}{2}}-{\frac {{v_{0}}^{2}}{2}}}$

${\displaystyle 2a\Delta x={v}^{2}-{v_{0}}^{2}}$

Desse modo, temos o resultado desejado

${\displaystyle {v}^{2}={v_{0}}^{2}+2a\Delta x}$

Pelo cálculo diferencial e integral

Por definição, a derivada temporal da velocidade é igual a aceleração do corpo^[5].

${\displaystyle {\frac {dv}{dt}}=a}$

Multiplicando os dois lados da equação pela velocidade.

${\displaystyle v{\frac {dv}{dt}}=av}$

E por definição, a velocidade é a derivada temporal do espaço^[5].

${\displaystyle v{\frac {dv}{dt}}=a{\frac {dx}{dt}}}$

Multiplicando os dois lados da equação por ${\displaystyle dt}$.

${\displaystyle v\ dv=a\ dx}$

Resolvendo essa equação diferencial.

${\displaystyle \int _{v_{0}}^{v}v'\ dv'=\int _{x_{0}}^{x}a\ dx'}$

${\displaystyle {\frac {{v}^{2}}{2}}-{\frac {{v_{0}}^{2}}{2}}=a(x-x_{0})}$

${\displaystyle {v}^{2}-{v_{0}}^{2}=2a(x-x_{0})}$

Chamando ${\displaystyle x-x_{0}}$ de ${\displaystyle \Delta x}$.

${\displaystyle {v}^{2}={v_{0}}^{2}+2a\Delta x}$

Referências