Função exponencial natural

A função exponencial natural, denotada e^x ou exp(x) é a função exponencial cuja base é o número de Euler (um número irracional que vale aproximadamente 2,718281828). A exponencial natural é caracterizada por ser idêntica à sua própria derivada.^{[1] [2]}

A função exponencial natural surge na teoria das equações diferenciais na modelagem de grandezas que variam de forma proporcional a si mesmas aparecendo em problemas em física, química, engenharia, biologia matemática e economia.

Função exponencial

Representação	${\displaystyle e^{x}\,}$ ou ${\displaystyle exp(x)\,}$
Inversa	${\displaystyle \ln x\,}$
Derivada	${\displaystyle e^{x}\,}$
Integral indefinida	${\displaystyle e^{x}+C\,}$

O gráfico de y = e^x é uma curva de inclinação positiva e crescente. O gráfico está totalmente acima do eixo das abcissas e cresce mais rápido à medida que x aumenta. O eixo x é uma assíntota horizontal pois a curva se aproxima arbitrariamente de zero quando x é negativo. A declividade da reta tangente é sempre igual à coordenada y no ponto de tangência. A função inversa é o logaritmo natural ln(x), em função disso, alguns textos antigos se referem à função exponencial natural como antilogaritmo.^[3]

Em geral, a variável x pode ser qualquer número real ou complexo. A função exponencial natural pode ser generalizada na função exponencial matricial ou, mesmo, para objetos matemáticos completamente distintos, ver, por exemplo, teorema espectral.

No estudo da análise matemática, a função exponencial natural em conjunto com o logaritmo natural pode ser usada para definir a função exponencial y=a^x como y=e^ln(a)x onde a>0 e a≠1.^[2]

Definição formal

Ver artigo principal: Caracterizações da função exponencial natural

A função exponencial natural e^x pode ser formalmente caracterizada de diversas maneiras distintas, porém equivalentes. Em particicular, podemos defini-la pela seguinte série de potências:^[2][4]

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+{x^{4} \over 4!}+\cdots }$

Aqui, n! indica o fatorial de n, isto é, o produto de todos os números naturais inferiores ou iguais a n.

A mesma expressão pode ser obtida a partir da expansão em série de Taylor da exponencial quando se usa uma definição alternativa.

Menos frequentemente a função, y=e^x é definida como a solução da seguinte equação integral:

${\displaystyle x=\int _{1}^{y}{dt \over t}}$

Ou ainda como o seguinte limite:^[5]

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}$

A função exponencial natural pode também ser definida como a única função diferenciável y=f(x) que satifaz o seguinte problema de valor inicial:

${\displaystyle {\begin{array}{l}f'(x)=f(x)\\f(0)=1\end{array}}}$

Finalmente, a função exponencial natural é a única função contínua y=f(x) que satisfaz:^[2]

${\displaystyle {\begin{array}{l}f(x+y)=f(x)f(y)\\f(1)=e\end{array}}}$

Propriedades

A exponencial natual satisfaz as seguinte propriedades^[2]:

• A função y = e^x é contínua e diferenciável para todo x.
• A derivada da função y = e^x é a própria função y = e^x.
• A função y = e^x é positiva e crescente para todo número real x.
• e^x+y = e^x e^y
• A curva y = e^x jamais toca o eixo x, embora se aproxime de zero para valores negativos de x, isto é:

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }e^{x}=0}$

• Os valores de y=e^x crescem ilimitadamente, isto é:

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }e^{x}=+\infty }$

• A função y=e^x cresce mais rápido que qualquer potência, isto é, para todo n natural, temos:

${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }x^{n}e^{x}=0.}$

Usando o logaritmo natural, pode-se definir funções exponenciais mais genéricas, como abaixo:

${\displaystyle a^{x}=e^{\ln(a)x},\quad a>0~~a\neq 1.}$

Função exponencial e equações diferenciais

A maior importância das funções exponenciais nos campos das ciências é o fato de que essas funções são múltiplas de suas próprias derivadas:

${\displaystyle {d \over dx}e^{\lambda x}=\lambda e^{\lambda x}}$

Se a taxa de crescimento ou de decaimento de uma variável é proporcional ao seu tamanho, como é o caso de um crescimento populacional ilimitado, juros continuamente computados ou decaimento radiativo, então a variável pode ser escrita como uma função exponencial do tempo.

A função exponencial então resolve a equação diferencial básica

${\displaystyle {dy \over dx}=y}$

e é por essa razão comumente encontrada em equações diferenciais. Em particular a solução de equações diferenciais ordinárias pode freqüentemente ser escrita em termos de funções exponenciais, ver Equação diferencial linear.

Função exponencial no plano complexo

A série de potências que define o exponencial natural dada por

${\displaystyle e^{z}=\sum _{n=0}^{\infty }{z^{n} \over n!}}$

converge absolutamente para todo número complexo z e converge uniformemente em cada subconjunto limitado do plano complexo. A função exponencial natural está definida em todo plano e satisfaz as seguintes propriedades:^[4]

1.  ${\displaystyle e^{z+w}=e^{z}e^{w}}$
2.  ${\displaystyle e^{0}=1}$
3.  ${\displaystyle e^{z}\neq 0}$
4.  ${\displaystyle {d \over dz}e^{z}=e^{z}}$
5.  A restrição de e^z à reta real coincide com a função exponencial natural real.
6.  A função exponencial no plano complexo é uma função holomórfica que é periódica com o período imaginário ${\displaystyle 2\pi i}$.
7.  Se t é um número real, então, ${\displaystyle e^{it}=\cos(t)+i\mathrm {sen} (t)}$ (relação de Euler)
8.  Para todo número complexo z, existe w tal que e^w = z.

Através destas propriedades, obtém-se que

${\displaystyle e^{a+bi}=e^{a}(\cos b+i\mathrm {sen} \,b)}$

onde a e b são valores reais. Essa fórmula conecta a função exponencial com as funções trigonométricas, e essa é a razão que estendendo o logaritmo natural a argumentos complexos resultam na função multivalente ln(z). Nós podemos definir como uma exponenciação mais geral: ${\displaystyle z^{w}=e^{w\ln z}}$ para todos os números complexos z e w. Essa exponencial é também uma função multivalente. As leis exponenciais mencionadas acima permanecem verdade se interpretadas propriamente como afirmações sobre funções multivalentes.

Função exponencial para matrizes e álgebras de Banach

A definição de função exponencial exp dada acima pode ser usada palavra por palavra para cada álgebra de Banach, e em particular para matrizes quadradas. Neste caso temos

${\displaystyle e^{x+y}=e^{x}e^{y}}$

se ${\displaystyle xy=yx}$ (deveríamos adicionar a fórmula geral envolvendo comutadores aqui)

${\displaystyle e^{0}=1}$

e^x é invertível com inverso e^-x

a derivada da exp no ponto x é aquela descrição linear que transforma u em u·e^x.

No contexto das álgebras de Banach não comutativas, como as álgebras de matrizes ou operadores no espaço de Banach ou de Hilbert, a função exponencial é freqüentemente considerada como uma função de um argumento real:

${\displaystyle f(t)=e^{tA}}$

onde ${\displaystyle A}$ é um elemento fixo da álgebra e ${\displaystyle t}$ é qualquer número real. Essa função tem importantes propriedades:

${\displaystyle f(s+t)=f(s)f(t)}$

${\displaystyle f(0)=1}$

${\displaystyle f'(t)=Af(t)}$

Mapa exponencial nas álgebras de Lie

O "mapa exponencial" que passa uma álgebra de Lie a um grupo de Lie compartilha as propriedades acima, o que explica a terminologia. De fato, desde que R é uma álgebra de Lie de um grupo de Lie de todos os números positivos reais com multiplicação, a função exponencial para argumentos reais é um caso especial da situação da álgebra de Lie. Similarmente, desde que a álgebra de Lie M (n, R) de todas as matrizes reais quadradas pertence ao grupo de Lie de todas as matrizes quadradas invertíveis, a função para matrizes quadradas é um caso especial do mapa exponencial da álgebra de Lie.

Referências