Matriz nula

Em matemática, em particular na álgebra linear, uma matriz nula ou matriz zero é uma matriz com todas as suas entradas nulas.[1] Estes são alguns exemplos de matrizes nulas:

0 1 , 1 = [ 0 ] ,   0 2 , 2 = [ 0 0 0 0 ] ,   0 2 , 3 = [ 0 0 0 0 0 0 ] . {\displaystyle 0_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}

Propriedades

O conjunto das matrizes m × n com entradas em um anel K forma um anel K m , n . {\displaystyle K_{m,n}.} A matriz nula 0 K m , n {\displaystyle 0_{K_{m,n}}} em K m , n {\displaystyle K_{m,n}} é a matriz com todas as entradas iguais a 0 K , {\displaystyle 0_{K},} em que 0 K {\displaystyle 0_{K}} é o elemento neutro da adição em K.

0 K m , n = [ 0 K 0 K ⋯ 0 K 0 K 0 K ⋯ 0 K ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 K 0 K ⋯ 0 K ] m × n {\displaystyle 0_{K_{m,n}}={\begin{bmatrix}0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0_{K}&0_{K}&\cdots &0_{K}\end{bmatrix}}_{m\times n}}

A matriz nula é o elemento neutro da adição em K m , n , {\displaystyle K_{m,n},} [2] ou seja, para toda A ∈ K m , n , {\displaystyle A\in K_{m,n},} vale

0 K m , n + A = A + 0 K m , n = A . {\displaystyle 0_{K_{m,n}}+A=A+0_{K_{m,n}}=A.}

Existe exatamente uma matriz nula de cada tamanho m × n dado tendo entradas num anel dado, assim, quando o contexto for claro, é comum se referir à matriz nula. Em geral, o elemento zero de um anel é único e normalmente indicado por 0 sem qualquer índice subscrito para indicar o anel subjacente. Deste modo, os exemplos acima representam matrizes nulas sobre qualquer anel.

A matriz nula representa a transformação linear que envia todos os vetores no vetor nulo.[3]

A matriz nula é idempotente, o que significa que, quando é multiplicada por si mesma, o resultado é ela própria.

A matriz nula é a única matriz cujo posto é 0.

Ocorrências

O problema matricial mortal é o problema de determinar, dado um conjunto finito de matrizes n × n com entradas inteiras, se elas podem ser multiplicadas em alguma ordem, possivelmente com repetição, para produzir a matriz nula. Sabe-se que isso é indecidível para um conjunto de seis ou mais matrizes 3 × 3 ou um conjunto de duas matrizes 15 × 15.[4]

Na regressão por mínimos quadrados ordinária, se houver um ajuste perfeito aos dados, a matriz anuladora é a matriz nula.

Ver também

  • Matriz identidade, o elemento neutro da multiplicação matricial

Referências

  1. ↑ Lang, Serge (1987), Linear Algebra, ISBN 9780387964126, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, p. 25 
  2. ↑ Warner, Seth (1990), Modern Algebra, ISBN 9780486663418, Courier Dover Publications, p. 291 
  3. ↑ Bronson, Richard; Costa, Gabriel B. (2007), Linear Algebra: An Introduction, ISBN 9780120887842, Academic Press, p. 377 
  4. ↑ Cassaigne, Julien; Halava, Vesa; Harju, Tero; Nicolas, Francois. «Tighter Undecidability Bounds for Matrix Mortality, Zero-in-the-Corner Problems, and More» (em inglês). arXiv:1404.0644Acessível livremente 

Ligações externas

  • Weisstein, Eric W. «Zero Matrix» (em inglês). MathWorld