Parênteses de Poisson

Definição

O Parênteses de Poisson(ou os colchetes de Poisson) de duas funções u e v das variáveis canônicas q_i e p_i é definido como:

${\displaystyle \left[u,v\right]_{q,p}=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial u}{\partial q_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial p_{i}}}-{\frac {\partial u}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial v}{\partial q_{i}}}\right)}$.

Propriedades algébricas

Os colchetes de Poisson possuem as seguintes propriedades:

• P1

${\displaystyle \left[q_{i},p_{j}\right]=\delta _{ij}}$;

• P2

${\displaystyle \left[q_{i},q_{j}\right]=0}$;

• P3

${\displaystyle \left[p_{i},p_{j}\right]=0}$;

• P4

${\displaystyle \left[u,u\right]=0}$;

• P5

Anticomutatividade: ${\displaystyle \left[u,v\right]=-\left[v,u\right]}$;

• P6

Linearidade (a e b constantes): ${\displaystyle \left[au+bv,w\right]=a\left[u,w\right]+b\left[v,w\right]}$;

• P7

Regra da cadeia: ${\displaystyle \left[uv,w\right]=\left[u,w\right]v+u\left[v,w\right]}$;

• P8

Identidade de Jacobi: ${\displaystyle \left[u,\left[v,w\right]\right]+\left[v,\left[w,u\right]\right]+\left[w,\left[u,v\right]\right]=0}$.

Equações de Hamilton

Artigo principal: equações de Hamilton.

As equações de Hamilton são geralmente escritas como segue:

${\displaystyle {\dot {p}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q}}}$

${\displaystyle {\dot {q}}=~~{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p}}}$

Essas equações podem ser escritas com o uso dos colchetes de Poisson:

${\displaystyle {\frac {dq}{dt}}=\left[q,{\mathcal {H}}\right]\qquad \qquad \qquad {\frac {dp}{dt}}=\left[p,{\mathcal {H}}\right]}$,

com ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ representando o hamiltoniano

Além disso, a função ${\displaystyle u}$ de q_i, p_i e t possui derivada temporal dada pela seguinte relação:

${\displaystyle {\frac {du}{dt}}=\left[u,{\mathcal {H}}\right]+{\frac {\partial u}{\partial t}}}$.