Teorema de Cox

O teorema de Cox, que recebe este nome em homenagem ao físico norte-americano Richard Threlkeld Cox, é uma derivação das leis da teoria das probabilidades a partir de um certo conjunto de postulados. Esta derivação justifica a então chamada interpretação "lógica" da probabilidade, já que as leis de probabilidade derivadas pelo teorema de Cox são aplicáveis a qualquer proposição. A probabilidade lógica, também chamada de bayesiana objetiva, é um tipo de probabilidade bayesiana. Outras formas de bayesianismo, tais como a interpretação subjetiva, recebem outras justificações.

Pressupostos de Cox

Cox desejou que seu sistema satisfizesse as seguintes condições:

1. Divisibilidade e comparabilidade — A plausibilidade de uma proposição é um número real e é dependente da informação que temos relacionada com a proposição.^[1]
2. Senso comum — Plausibilidades devem variar sensivelmente com a avaliação das plausibilidades no modelo.^[2]
3. Consistência – Se a plausibilidade de uma proposição pode ser derivada em muitas formas, todos os resultados devem ser iguais.^[3]

"Senso comum" inclui consistência com a lógica aristotélica no sentido de que proposições logicamente equivalentes terão a mesma plausibilidade.

Os postulados como originalmente afirmados por Cox não eram matematicamente rigorosos.^[4][5] No entanto, é possível aumentar estes postulados como vários pressupostos matemáticos feitos implícita ou explicitamente por Cox para produzir uma prova válida.

A notação de Cox é:

• A plausibilidade de uma proposição ${\displaystyle A}$ dada alguma informação relacionada ${\displaystyle X}$ é denotada por ${\displaystyle A|X}$.

Os postulados de Cox e as equações funcionais são:

• A plausibilidade da conjunção ${\displaystyle AB}$ de duas proposições ${\displaystyle A,B}$, dada alguma informação relacionada ${\displaystyle X}$, é determinada pela plausibilidade de ${\displaystyle A}$ dada ${\displaystyle X}$ e pela de ${\displaystyle B}$ dada ${\displaystyle AX}$. Na forma de uma equação funcional:

  ${\displaystyle AB|X=g(A|X,B|AX).}$

Por causa da natureza associativa da conjunção na lógica proposicional, a consistência com a lógica dá uma equação funcional que diz que a função ${\displaystyle g}$ é uma operação binária associativa.

• Adicionalmente, Cox postula que a função ${\displaystyle g}$ é monótona. Todas as operações binárias associativas crescentes em números reais são isomórficas em relação à multiplicação dos números no intervalo ${\displaystyle [0,1]}$, o que significa que há uma função ${\displaystyle w}$ que mapeia as plausibilidades em relação a ${\displaystyle [0,1]}$, tal que:

  ${\displaystyle w(AB|X)=w(A|X)w(B|AX).}$

• A plausibilidade de uma proposição determina a plausibilidade da negação da proposição. Isto postula a existência de uma função ${\displaystyle f}$, tal que:

  ${\displaystyle w(n{\tilde {a}}o\,A|X)=f(w(A|X)).}$

Como "uma dupla negativa é uma afirmativa", a consistência com a lógica dá uma equação funcional:

${\displaystyle f(f(x))=x,}$

o que diz que a função ${\displaystyle f}$ é uma involução, isto é, é sua própria inversa.

• Além disso, Cox postula que a função ${\displaystyle f}$ é monótona. As equações funcionais acima e a consistência com a lógica implicam que:

  ${\displaystyle w(AB|X)=w(A|X)f(w(n{\tilde {a}}o\,B|AX))=w(A|X)f\left({w(A\,n{\tilde {a}}o\,B|X) \over w(A|X)}\right).}$

Já que ${\displaystyle AB}$ é logicamente equivalente a ${\displaystyle BA}$, também temos:

${\displaystyle w(A|X)f\left({w(A\,n{\tilde {a}}o\,B|X) \over w(A|X)}\right)=w(B|X)f\left({w(B\,n{\tilde {a}}o\,A|X) \over w(B|X)}\right).}$

Se, em particular, ${\displaystyle B=n{\tilde {a}}o\,(AD)}$, então ${\displaystyle A\,n{\tilde {a}}o\,B=n{\tilde {a}}o\,B}$ e ${\displaystyle B\,n{\tilde {a}}o\,A=n{\tilde {a}}o\,A}$ também e temos:

${\displaystyle w(A\,n{\tilde {a}}o\,B|X)=w(\,n{\tilde {a}}o\,B|X)=f(w(B|X))}$

e

${\displaystyle w(B\,n{\tilde {a}}o\,A|X)=w(\,n{\tilde {a}}o\,A|X)=f(w(A|X)).}$

Abreviando ${\displaystyle w(A|X)=x}$ e ${\displaystyle w(B|X)=y}$, temos a equação funcional:

${\displaystyle xf\left({f(y) \over x}\right)=yf\left({f(x) \over y}\right).}$

Implicações dos postulados de Cox

As leis de probabilidade deriváveis destes postulados são as seguintes.^[6] Considere ${\displaystyle A|B}$ a plausibilidade da proposição ${\displaystyle A}$ dada ${\displaystyle B}$ que satisfaz os postulados de Cox. Então, há uma função ${\displaystyle w}$ que mapeia as plausibilidades em relação ao intervalo ${\displaystyle [0,1]}$ e um número positivo ${\displaystyle m}$, tal que:

1. A certeza é representada por ${\displaystyle w(A|B)=1}$.
2. ${\displaystyle w^{m}(A|B)+w^{m}(\,n{\tilde {a}}o\,A|B)=1}$.
3. ${\displaystyle w(AB|C)=w(A|C)w(B|AC)=w(B|C)w(A|BC)}$.

É importante notar que os postulados implicam apenas estas propriedades gerais. Podemos recuperar as leis usuais de probabilidade ao configurar uma função nova, convencionalmente denotada ${\displaystyle P}$ ou ${\displaystyle \Pr }$, igual a ${\displaystyle w^{m}}$. Então, obtêm-se as leis de probabilidade em uma forma mais familiar:

1. A verdade certa é representada por ${\displaystyle \Pr(A|B)=1}$ e a falsidade certa por ${\displaystyle \Pr(A|B)=0}$.
2. ${\displaystyle \Pr(A|B)+\Pr(\,n{\tilde {a}}o\,A|B)=1}$.
3. ${\displaystyle \Pr(AB|C)=\Pr(A|C)\Pr(B|AC)=\Pr(B|C)\Pr(A|BC)}$.

A segunda regra é uma regra para negação e a terceira regra é uma regra para conjunção. Dado que qualquer proposição contendo conjunção, disjunção e negação pode ser equivalentemente refraseada usando conjunção e negação apenas (a forma normal conjuntiva), pode-se agora manejar qualquer proposição composta.

As leis assim derivadas produzem aditividade finita de probabilidade, mas não aditividade contável. A formulação teórica da medida de Kolmogorov assume que uma medida de probabilidade é contavelmente aditiva. Esta condição levemente mais forte é necessária para a prova de certos teoremas.

Interpretação e discussão posterior

O teorema de Cox veio a ser usado como uma das justificações para o uso da teoria da probabilidade bayesiana. A probabilidade pode ser interpretada como um sistema formal da lógica, a extensão natural da lógica aristotélica (na qual toda afirmação é verdadeira ou falsa) no domínio do raciocínio na presença de incerteza.^[6]

Tem-se debatido com que intensidade o teorema exclui modelos alternativos para raciocínio sobre incerteza. Por exemplo, se certos pressupostos matemáticos "não intuitivos" fossem descartados, então, alternativas poderiam ser concebidas.^[4] No entanto, foram sugeridos postulados adicionais de "senso comum" que permitiriam o relaxamento dos pressupostos em alguns casos.^[1][2][3] Outras abordagens em direção semelhante já foram desenvolvidas.^[7][8]

Cox formulou pela primeira vez o teorema em 1946.^[9] Em 1961, estendeu o teorema com resultados adicionais e mais discussões.^[10] O matemático norueguês Niels Henrik Abel foi creditado por ter usado pela primeira vez a equação funcional de associatividade.^[6][11] O matemático húngaro-canadense János Aczél ofereceu uma longa prova da equação de associatividade.^[12]

Ver também

• Axiomas de probabilidade
• Lógica probabilística

Referências

• Portal da matemática