Tricotomia (matemática)

Em matemática, a lei da tricotomia afirma que todo número real é positivo, negativo ou zero.^[1] A tricotomia é a propriedade de uma relação de ordem que, para quaisquer ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$, exatamente um dos seguintes ocorre: ${\displaystyle x<y}$, ${\displaystyle x=y}$, ou ${\displaystyle x>y}$. Este axioma da tricotomia é válido para comparações ordinárias de números reais e, por conseguinte, seus subconjuntos, tais como os inteiros e racionais.^[2]

Mais geralmente, uma relação binária ${\displaystyle \mathrm {R} }$ em um conjunto ${\displaystyle X}$ é tricotômica se para todos os ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$ em ${\displaystyle X}$, exatamente um de ${\displaystyle x\mathrm {R} y}$, ${\displaystyle y\mathrm {R} x}$ e ${\displaystyle x=y}$ for válido.^[2] Escrevendo ${\displaystyle \mathrm {R} }$ como ${\displaystyle <}$, isso é declarado na lógica formal como:

${\displaystyle \forall x\in X\,\forall y\in X\,([x<y\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,\lnot (x=y)]\,\lor \,[\lnot (x<y)\,\land \,y<x\,\land \,\lnot (x=y)]\,\lor \,[\lnot (x<y)\,\land \,\lnot (y<x)\,\land \,x=y])\,.}$

Propriedades

• Uma relação é tricotômica se, e somente se, for assimétrica e semiconexa.
• Se uma relação tricotômica também é transitiva, então é uma ordem total estrita; este é um caso especial de uma ordem estritamente fraca.^[3][4]

Exemplos

• No conjunto ${\displaystyle X=\{a,b,c\}}$, a relação ${\displaystyle \mathrm {R} =\{(a,b),(a,c),(b,c)\}}$ é transitiva e tricotômica e, portanto, uma ordem total estrita.
• No mesmo conjunto, a relação cíclica ${\displaystyle \mathrm {R} =\{(a,b),(b,c),(c,a)\}}$ é tricotômica, mas não transitiva; é até antitransitiva.

Tricotomia em números

Uma lei da tricotomia em algum conjunto ${\displaystyle X}$ de números geralmente expressa que alguma relação de ordenação dada tacitamente em ${\displaystyle X}$ é tricotômica. Um exemplo é a lei "Para números reais arbitrários ${\displaystyle x}$ e ${\displaystyle y}$, aplica-se exatamente um de ${\displaystyle x<y}$, ${\displaystyle x>y}$ ou ${\displaystyle x=y}$"; alguns autores até fixam ${\displaystyle y}$ como zero, baseando-se na estrutura de grupo linearmente ordenada aditiva do número real. Este último é um grupo equipado com uma ordem tricotômica.

Na lógica clássica, este axioma da tricotomia vale para comparação ordinária entre números reais e, portanto, também para comparações entre inteiros e entre números racionais.^{[necessário esclarecer]} A lei não se aplica em geral na lógica intuicionista.

Na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel e na teoria dos conjuntos de Bernays, a lei da tricotomia é válida entre os números cardinais de conjuntos bem ordenáveis, mesmo sem o axioma da escolha. Se o axioma da escolha for válido, então a tricotomia é válida entre os números cardinais arbitrários (porque eles são todos bem ordenados nesse caso).^[5]

Ver também

• Begriffsschrift contém uma formulação inicial da lei da tricotomia
• Dicotomia
• Princípio da não-contradição
• Lei do terceiro excluído

Referências

• Portal da matemática