Cât

În aritmetică, câtul este o cantitate produsă prin împărțirea a două numere. Câtul este adesea folosit în matematică și poate fi poate fi considerat ca partea întreagă a unei împărțiri (în cazul împărțirii euclidiene). Spre exemplu, dacă împărțim ${\displaystyle 20}$ (numărătorul) la ${\displaystyle 3}$ (numitorul), cătul va fi ${\displaystyle 6}$ și restul va fi ${\displaystyle 2}$. Câtul este raportul dintre numărător și numitor.

Notația

Câtul este cel mai des întâlnit ca două numere, sau două variabile, separate printr-o linie orizontală. Cuvintele "numărător" și "numitor" se referă la parțile individuale, în timp ce câtul se referă la total.

$${\displaystyle {\dfrac {1}{2}}\quad {\begin{aligned}&\leftarrow {\text{deîmpărțit sau numărător}}\\&\leftarrow {\text{împărțitor sau numitor}}\end{aligned}}{\Biggr \}}\leftarrow {\text{câtul}}}$$

Definiția părții întregi

Câtul mai este definit și ca cel mai mare număr întreg care înmulțit cu un numitor poate fi scăzut din numărător fara a obține un rest negativ. Spre exemplu, numitorul ${\displaystyle 3}$ poate fi scăzut de ${\displaystyle 6}$ ori din numărătorul ${\displaystyle 20}$ fără ca restul scăderii să devină negativ.

${\displaystyle 20-3-3-3-3-3-3\geq 0}$,

pe când

${\displaystyle 20-3-3-3-3-3-3-3<0}$.

În acest sens, câtul este partea întreagă a raportului a două numere.

Câtul a două numere întregi

Un număr rațional poate fi definit ca câtul a doua numere întregi (cât timp numitorul este diferit de zero).

O definiție mai detaliată este următoarea:^[1]

Un număr real ${\displaystyle r}$ este rațional, dacă și numai dacă poate fi exprimat ca un cât a două numere întregi cu numitorul diferit de zero. Un număr real care nu este rațional este irațional.

Sau mai formal:

Dat fiind un număr real ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle r}$ este rațional dacă și numai dacă există numerele întregi ${\displaystyle a}$ și ${\displaystyle b}$ astfel încât ${\displaystyle r={\frac {a}{b}}}$ și ${\displaystyle b\neq 0}$.

Existența numerelor iraționale—numere care nu sunt câtul a doi întregi—a fost descoperită în geometrie, în lucruri precum raportul dintre diagonala și latura unui pătrat.^[2]

Câturile mai generale

În afara aritmeticii, multe ramuri ale matematicii au împrumutat cuvântul "cât" pentru a descrie structuri construite prin spargerea unor structuri mai mari în bucăți. Dată fiind o mulțime cu o relație de echivalență, o mulțime a câturilor poate fi creată care să conțina acele clase de echivalență ca elemente. Un spațiu al câturilor poate fi format prin spargerea unui spațiu vectorial într-un număr de subspații liniare similare.

Vezi și

• Înmulțire (matematică)
• Împărțire (matematică)
• Inel (matematică)
• Mulțime
• Categorie (matematică)

References