Corp (matematică)

Acest articol se referă la o structură algebrică. Pentru alte sensuri, vedeți Corp (dezambiguizare).
Acest articol sau această secțiune are bibliografia incompletă sau inexistentă.
Puteți contribui prin adăugarea de referințe în vederea susținerii bibliografice a afirmațiilor pe care le conține.

În algebră, un corp se referă la o mulțime pe care sunt definite niște operații binare numite adunare, scădere, înmulțire și împărțire, cu aceleași proprietății algebrice ca operațiile corespunzătoare pe numerele reale (cu posibila excepție a comutativității înmulțirii; a se vedea mai jos).

Conceptul de corp a fost dezvoltat în secolul al XIX-lea, în trei domenii separate ale matematicii: rezoluția ecuaților polinomiale (cu ce a devenit teoria lui Galois), teoria algebrică a numerelor, și geometria algebrică.[1] A fost un concept unificator, iar corpurile au devenit o structură de bază a matematicii moderne care joacă un rol fundamental în mai multe ramuri ale matematicii.

Definiție

Se numește corp un triplet ( K , + , ∗ ) {\displaystyle (K,+,*)} în care K {\displaystyle K} este o mulțime cu cel puțin două elemente, iar + {\displaystyle +} și ∗ {\displaystyle *} sunt două operații pe K {\displaystyle K} (numite „adunare”, respectiv „înmulțire”) satisfăcând următoarele trei axiome:

  1. ( K , + ) {\displaystyle (K,+)} este grup abelian cu elementul neutru notat cu 0 {\displaystyle 0} .
  2. ( K ∖ { 0 } , ∗ ) {\displaystyle (K\setminus \{0\},*)} este grup cu elementul neutru notat cu 1 {\displaystyle 1} .
  3. „Înmulțirea” este distributivă față de „adunare”, adică pentru orice x , y , z ∈ K {\displaystyle x,y,z\in K} :
x ∗ ( y + z ) = x ∗ y + x ∗ z {\displaystyle x*(y+z)=x*y+x*z}
( y + z ) ∗ x = y ∗ x + z ∗ x {\displaystyle (y+z)*x=y*x+z*x}

Dacă, în plus, „înmulțirea” este comutativă, atunci tripletul ( K , + , ∗ ) {\displaystyle (K,+,*)} se numește corp comutativ.

Grupul ( K , + ) {\displaystyle (K,+)} se numește grupul aditiv al corpului, iar grupul ( K ∖ { 0 } , ∗ ) {\displaystyle (K\setminus \{0\},*)} se numește grupul multiplicativ al elementelor nenule ale corpului.

Exemple

Mulțimea Q {\displaystyle \mathbb {Q} } (respectiv R {\displaystyle \mathbb {R} } ) a numerelor raționale (respectiv reale) înzestrată cu operațiile de adunare și înmulțire are o structură de corp comutativ, numit corpul numerelor raționale (respectiv corpul numerelor reale).

Inelul Z / p Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} } al claselor de resturi modulo p este corp comutativ dacă și numai dacă p este un număr prim. Reciproc, orice corp finit al cărui cardinal p este prim este izomorf cu Z / p Z {\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} } .

Subcorp

Definiție

O submulțime F {\displaystyle F} a unui corp K {\displaystyle K} se numește subcorp al lui K {\displaystyle K} , dacă operațiile algebrice definite pe K {\displaystyle K} induc pe F {\displaystyle F} operații algebrice, împreună cu care F {\displaystyle F} este corp.

Dacă F {\displaystyle F} este subcorp al lui K {\displaystyle K} , atunci K {\displaystyle K} se numește extindere a lui F {\displaystyle F} și se notează F ⊆ K {\displaystyle F\subseteq K} sau K ⊇ F {\displaystyle K\supseteq F} .

Caracterizare

O submulțime nevidă F {\displaystyle F} a unui corp K {\displaystyle K} este un subcorp a lui K {\displaystyle K} dacă și numai dacă:

  1. x , y ∈ F ⟹ x + y ∈ F {\displaystyle x,y\in F\implies x+y\in F}
  2. x , y ∈ F ⟹ x ∗ y ∈ F {\displaystyle x,y\in F\implies x*y\in F}
  3. x ∈ F , x ≠ 0 ⟹ x − 1 ∈ F {\displaystyle x\in F,x\neq 0\implies x^{-1}\in F}

Condițiile 2 și 3 din propoziția de mai sus sunt echivalente cu condiția: ∀ x ∈ F , ∃ y ∈ F ∖ { 0 } : x ∗ y − 1 = 1 {\displaystyle \forall x\in F,\exists y\in F\setminus \{0\}:x*y^{-1}=1} .

Exemple de subcorpuri

  1. Fie K {\displaystyle K} un corp. Atunci K {\displaystyle K} este un subcorp al lui K {\displaystyle K} .
  2. Q {\displaystyle \mathbb {Q} } este un subcorp al lui R {\displaystyle \mathbb {R} } .
  3. Fie Q ( 2 ) = { a + b 2 | ∀ a , b ∈ Q } {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})=\{a+b{\sqrt {2}}\;|\;\forall a,b\in \mathbb {Q} \}} , înzestrat cu operațiile de adunare și înmulțire uzuale. Avem Q ⊂ Q ( 2 ) {\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})} și Q ( 2 ) ⊂ R {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\subset \mathbb {R} } .

Note

Bibliografie

  • Gheorghe Ivan, Paul Mihai Șușoi, Elemente de teoria polinoamelor și a ecuațiilor algebrice, Editura Ionescu, 2001.
  • Kleiner, Israel (), Kleiner, Israel, ed., A history of abstract algebra, Birkhäuser, doi:10.1007/978-0-8176-4685-1, ISBN 978-0-8176-4684-4, MR 2347309 

Vezi și

Legături externe

  • en „Skew-field - Encyclopedia of Mathematics”, Encyclopediaofmath.org, accesat în