Acest articol sau această secțiune are bibliografia incompletă sau inexistentă. Puteți contribui prin adăugarea de referințe în vederea susținerii bibliografice a afirmațiilor pe care le conține. |
Teorema lui Rolle este o teoremă enunțată prima oară de Michel Rolle în 1691. Dacă f este o funcție definită pe un interval I și a și b două puncte din I (a < b) și dacă f este continuă pe [a , b], derivabilă pe (a , b), iar f(a) = f(b), atunci există un punct c, a < c < b, în care derivata se anulează, f'(c)=0.
Enunț teoremă
Fie
. Dacă:
este continuă pe intervalul închis
;
este derivabilă pe intervalul deschis
;
are valori egale la capetele intervalului,
),
atunci există cel puțin un punct
din intervalul deschis
, în care derivata se anulează,
.
Demonstrație
Se analizează cazurile:
- Funcția
este constantă pe intervalul închis
. În acest caz
, oricare ar fi
și deci orice punct
răspunde concluziei teoremei. - Funcția
nu este constantă. Cum
este continuă pe un compact
, atunci din Teorema lui Weierstrass
este mărginită și își atinge marginile pe compact, adică există
astfel încât
,
,
unde
,
sunt marginea superioară respectivă și marginea inferioară respectivă a lui
. Deoarece
nu este constantă, rezultă
.
Dacă punctul de minim
se află în interiorul intervalului
, atunci conform Teoremei lui Fermat
.
Deci luând
teorema este demonstrată.
Dacă
, deci
coincide cu unul din capetele intervalului
, atunci
.
În acest caz este clar că
, punctul de maxim al lui
, se află în interiorul intervalului
. Din nou aplicând teorema lui Fermat se deduce
.
Deci
și teorema este complet demonstrată.
Teorema reciprocă
Fie
, continuă pe
, derivabilă pe
și
, unde
sunt rădăcini pentru
.
Atunci există cel puțin un punct
astfel încât
. Deci între două rădăcini ale funcției
se află cel puțin o rădăcină a derivatei
.
Interpretări
Interpretare geometrică
Teorema lui Rolle are o interpretare geometrică simplă. Din
rezultă că tangenta la graficul funcției
în punctul
este paralelă cu axa Ox. Deci dacă cerințele Teoremei lui Rolle sunt îndeplinite, atunci pe graficul funcției
există (cel puțin) un punct
în care tangenta este paralelă cu axa Ox.
Interpretare fizică
Presupunem că
este timpul și
este coordonata unui punct, care se mișcă pe o dreaptă, la momentul
. La momentul
punctul are coordonata
, apoi se mișcă într-un anumit mod cu viteza
și se întoarce la punctul de plecare cu coordonata
, la momentul
. Este clar că pentru a se întoarce la punctul
, el trebuie să se oprească la un anumit moment, adică la un anumit moment
viteza este zero,
.
Observații
- Teorema lui Rolle este o teoremă de existență.
- Toate cele trei cerințe din teorema lui Rolle sunt esențiale pentru ca teorema să fie adevărată. Dacă una din cele trei ipoteze nu se verifică, atunci concluzia teoremei nu mai are loc. Vom ilustra prin exemplele de mai jos acest lucru.
Exemplul 1
Fie funcția
definită prin
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x=0\\x,&x\in (0,1].\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a1bf865b6045b39c255b15897c39aaf77aab4c5)
Aceasta funcție verifică cerințele 2) și 3) din teoremă, dar nu verifică 1), adică
nu este continuă la dreapta în
. Deci
nu este continuă pe
. Avem
, oricare ar fi
și prin urmare
, oricare ar fi
.
Exemplul 2
Să considerăm
,
pentru care se verifică 1) (continuitatea pe intervalul
), 3) (
), dar nu se verifică 2) întrucât
nu este derivabilă în
. Prin urmare, nu există punct intermediar
în care
, căci
![{\displaystyle f'(x)={\begin{cases}-1,&-1<x<0\\1,&0<x<1.\end{cases}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/717165a302a0ffb8eb73494cb7558dd4fcbf8e78)
Exemplul 3
Fie
,
. Aceasta funcție verifică 1), 2) din teoremă, dar nu verifică 3) (
). Așadar nu există
astfel încât
deoarece
, oricare ar fi
.
Exemplul următor vine să atragă atenția că necesitatea ca domeniul de definiție al funcției să fie interval este esențială.
Fie
,
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}-x+3,&x\in [0,1)\\x,&x\in (1,3].\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b5d7ac3d539de2477de5a3d2bdb86610f8160c1)
Evident
este derivabilă pe
și
și totuși
nu se anulează pe
. Mulțimea de definiție nu este interval.
3. Nu trebuie să se tragă concluzia că derivata unei funcții nu se anulează în niciun punct dacă acea funcție nu satisface una una din condițiile teoremei lui Rolle. Nu avem decât să luăm
,
Bibliografie
Editura MathPress (Manual si culegere clasa a-XII-a - 4 ore)
Legături externe
| Portal Matematică |
Materiale media legate de Teorema lui Rolle la Wikimedia Commons